Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M1 · Mate-Info — Teste de antrenament 2020 · Testul 20

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M1 · Mate-Info — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 20. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că numărul $A = z(2+3i) + \bar{z}(2-3i)$ este real, pentru orice număr complex $z$ , unde $\bar{z}$ este conjugatul lui $z$ .
2.Se consideră $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-6x+7$ . Arătați că $f(\sqrt{2})\cdot f(1+\sqrt{2})\cdot f(2+\sqrt{2})\cdots f(10+\sqrt{2})=0$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg(x^2+x-2) = 1 + \lg\dfrac{x-1}{2}$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, produsul cifrelor sale să fie mai mare decât $51$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,6)$ , $B(-3,-1)$ și $C(-2,-2)$ . Arătați că punctul $M(1,2)$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ .
6.Se consideră $R$ , raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ , și $r$ , raza cercului înscris în triunghiul $ABC$ . Știind că $\sin A+\sin B+\sin C = \dfrac{1}{rR}$ , arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $1$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(m)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & m \\ 4 & 1 & m \\ 1 & -m & -1 \end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases} 2x+y+mz=4 \\ 4x+y+mz=6 \\ x-my-z=-1 \end{cases}

, unde

m

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(0))=2$ .
b.Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)$ este inversabilă.
c.Demonstrați că, pentru orice $m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}$ , soluția $(x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații verifică relația $\dfrac{y_0}{z_0}=x_0$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x\ast y = x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}

a.Arătați că $2\ast(-2)=0$ .
b.Verificați dacă $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\ast$ ”.
c.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\dfrac{e^{2x}-1}{2e^x}$ . Arătați că $f(x)\ast f(y)=f(x+y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{e^x}{\sqrt{x^2+1}}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{e^x(x^2-x+1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(-x)}{x}$ .
c.Determinați imaginea funcției $f$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{1}{x^2+4}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=\dfrac{\pi}{8}$ .
b.Pentru fiecare număr natural $n$ , considerăm numărul $I_n=\displaystyle\int_0^1 f^n(x)\,dx$ . Arătați că $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n=0$ .
c.Determinați numărul real $a$ , $a>0$ , pentru care $\displaystyle\int_0^a x\,f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{5}{4}$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.