Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Vară 2018 (rezervă)

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2018, sesiunea de vară (rezervă). Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $1 + i + (i-1)(1+i) - (i-1) = 0$ , unde $i^2 = -1$ .
2.Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - 2x + 1$ . Calculați $(f \circ f)(1)$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x^2 - 5x + 7) = \log_2 3$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale pare de două cifre, acesta să fie divizibil cu $5$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 3)$ , $B(-2, 1)$ , $C(4, 3)$ și $D(8, 5)$ . Demonstrați că patrulaterul $ABCD$ este paralelogram.
6.Arătați că $\sin x + 3\cos x = 2\sqrt{2}$ , știind că $\operatorname{tg} x = 1$ și $x \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

X(a) = \begin{pmatrix} a & 5 \\ 1 & a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(X(1)) = -4$ .
b.Demonstrați că $X(-a) + X(a) = X(-2018) + X(2018)$ , pentru orice număr real $a$ .
c.Determinați perechile de numere reale $(a, b)$ pentru care $X(a)X(b) = X(a) + X(b)$ .

Se consideră polinomul

f = X^3 - 2X^2 - X + m

, unde

m

este număr real.

a.Pentru $m = 2$ , arătați că $f(2) = 0$ .
b.Arătați că, dacă polinomul $f$ se divide cu $X + 1$ , atunci polinomul $f$ se divide cu $X^2 - 3X + 2$ .
c.Determinați numărul real nenul $m$ , știind că $\dfrac{x_1}{x_2 x_3} + \dfrac{x_2}{x_3 x_1} + \dfrac{x_3}{x_1 x_2} = 6$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{x+1}{x+2} + \dfrac{x+2}{x+3}

a.Arătați că $f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2} + \dfrac{1}{(x+2)^2} + \dfrac{1}{(x+3)^2}$ , $x \in (-1, +\infty)$ .
b.Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.Determinați imaginea funcției $f$ .

Se consideră funcția

f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = 3x^2 + 2x + 1 + \ln x

a.Arătați că $\displaystyle\int_1^2 \bigl(f(x) - \ln x\bigr)\,dx = 11$ .
b.Arătați că $\displaystyle\int_1^e \frac{f(x)}{x}\,dx = \dfrac{3e^2 + 4e - 4}{2}$ .
c.Determinați numărul real $a$ , $a > 1$ , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 1$ și $x = a$ are aria egală cu $a^3 + a^2 + a - 2$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.