Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Sesiunea de Vară 2019

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2019, sesiunea de vară. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — fără cont, direct în browser.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Determinați termenul $b_3$ al progresiei geometrice $(b_n)_{n \geq 1}$ , știind că $b_1 = 1$ și rația $q = 5$ .
2.
Se consideră funcțiile $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 - x + 1$ și $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $g(x) = 4x - 5$ . Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor celor două funcții.
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x} + x = 4$ .
4.
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \ldots, \sqrt{49}\}$ , acesta să fie număr natural.
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 3)$ , $B(-3, 0)$ și $C(-3, 6)$ . Determinați ecuația medianei din $A$ a triunghiului $ABC$ .
6.
Arătați că $\sin x(3\sin x - \cos x) + \cos x(\sin x + 3\cos x) = 3$ , pentru orice număr real $x$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a) = \begin{pmatrix} a & 4 \\ -4 & a \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det(A(-1)) = 17$ .
b.
Demonstrați că $A(2019 - a) + A(2019 + a) = 2A(2019)$ , pentru orice număr real $a$ .
c.
Determinați perechile de numere reale $x$ și $y$ , pentru care $A(x)A(y) = 2A(-8)$ .

Pe mulțimea

G = (-2, 2)

se definește legea de compoziție

x \ast y = \dfrac{4x + 4y}{4 + xy}

a.
Arătați că $0$ este elementul neutru al legii de compoziție $x \ast y$ .
b.
Determinați $x \in G$ , pentru care $x \ast x = \dfrac{8}{5}$ .
c.
Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to G$ , $f(x) = \dfrac{2(x-1)}{x+1}$ . Demonstrați că $f(xy) = f(x) \ast f(y)$ , pentru orice $x, y \in (0, +\infty)$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}

f(x) = 1 - 2x + 2\ln(x+1)

a.
Arătați că $f'(x) = \dfrac{-2x}{x+1}$ , $x \in (-1, +\infty)$ .
b.
Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.
Demonstrați că $\ln(1 + \cos x) \leq \cos x$ , pentru orice $x \in (0, \pi)$ .

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \dfrac{x+3}{e^x}

a.
Arătați că $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)e^x\,dx = 6$ .
b.
Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe intervalul $[-3, +\infty)$ .
c.
Determinați numărul natural nenul $n$ , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = n$ are aria egală cu $4 - 6e^{-n}$ .

Ce notă ai lua azi la BAC?

5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.

Testează-te

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Ce notă ai lua azi la BAC?

5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.

Testează-te

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.