Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 6

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 6. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați suma primilor cinci termeni ai progresiei aritmetice $(a_n)_{n\ge 1}$ , știind că $a_1=5$ și rația $r=2$ .
2.Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $x^2-ax+a-1=0$ are soluții reale distincte.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3-\sqrt[3]{x^2+x+2}=1$ .
4.Calculați $2C_4^3-3A_4^2$ .
5.Se consideră vectorii $\vec{u}=\vec{i}+a\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}+\left(a^2+1\right)\vec{j}$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari.
6.Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ cu $AB=8$ , $BC=8$ și aria egală cu $16$ . Determinați măsura unghiului $B$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

M(x,y)=xI_2+yA

, unde

x

și

y

sunt numere reale.

a.Arătați că $\det A=-1$ .
b.Demonstrați că $M(x,y)\cdot M(a,b)=M(xa+yb,\,xb+ya)$ , pentru orice numere reale $a$ , $b$ , $x$ și $y$ .
c.Determinați perechile $(x,y)$ de numere reale, știind că $\det(M(x,y))=4$ și suma elementelor matricei $M(x,y)\cdot M(x,y)$ este egală cu $8$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definesc legile de compoziție

x*y=x+y-1

și

x\circ y=xy-x-y+2

a.Arătați că $2\circ(1*3)=(2\circ 1)*(2\circ 3)$ .
b.Determinați numerele reale $x$ pentru care $3^{x\circ x}=\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x*x}$ .
c.Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x-1)*(2y+1)=2$ și $(x+y)\circ 4=10$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\begin{cases}5x-3, & x\in(-\infty,1)\\x^2-x+\sqrt{x^2+3}, & x\in[1,+\infty)\end{cases}

a.Arătați că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ .
b.Arătați că, pentru orice număr real $a$ , $a>1$ , tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ nu este paralelă cu axa $Ox$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(1,+\infty)$ .

Se consideră funcțiile

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\sqrt{x}+x+1

și

g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

g(x)=\dfrac{\sqrt{x}+2x}{2x}

a.Demonstrați că funcția $f$ este o primitivă a funcției $g$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_1^4 g(x)\,dx$ .
c.Determinați numărul real $m$ , $m>1$ , pentru care $\displaystyle\int_1^m f(x)\cdot g(x)\,dx=20$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.