Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 8

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 8. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $\left(\log_2 63 - \log_2 7\right)\cdot\dfrac{1}{\log_2 3} = 2$ .
2.Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$ pentru care ecuația $x^2 + mx - m = 0$ nu are soluții reale.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2-20} = \dfrac{1}{81}$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $n! \le n(n-1)$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,0)$ , $B(0,4)$ și $O(0,0)$ . Determinați coordonatele punctului $C$ , știind că $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC}$ .
6.Determinați numărul real $a$ , $a > 1$ , știind că $a-1$ , $2a$ și $2a+1$ sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \ln a \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

, unde

a \in (0, +\infty)

a.Arătați că $\det(A(e)) = e$ .
b.Demonstrați că $\det\bigl(A(a^2)\bigr) = \det\bigl(A(a)\cdot A(a)\bigr)$ , pentru orice $a \in (0,+\infty)$ .
c.Determinați numerele $a, b \in (0,+\infty)$ pentru care $A(a) + A(b) = 2A(a)\cdot A(b)$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x \circ y = 3xy - 3\sqrt{2}(x+y) + 6 + \sqrt{2}

a.Arătați că $\sqrt{2} \circ 1 = \sqrt{2}$ .
b.Demonstrați că $x \circ y = 3\bigl(x-\sqrt{2}\bigr)\bigl(y-\sqrt{2}\bigr)+\sqrt{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.Calculați $\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{1}} \circ \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \circ \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \circ \cdots \circ \dfrac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2017}}$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x) = \begin{cases} 2^x + 3^x - 4, & x \in (-\infty, 1) \\ \dfrac{x^2 - x + 1}{x^2}, & x \in [1, +\infty) \end{cases}

a.Arătați că funcția $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ .
b.Demonstrați că funcția $f$ este crescătoare pe $(-\infty, 1)$ .
c.Demonstrați că $f(x) \le 1$ , pentru orice număr real $x$ .

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x) = \dfrac{2x+4}{x^2+4x+3}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 (x+1)(x+3)f(x)\,dx = 5$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx$ .
c.Demonstrați că orice primitivă $F:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $f$ este concavă.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.