Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 11

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 11. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $\log_2\!\left(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1\right)=-\log_2\!\left(\sqrt[3]{2}-1\right)$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x+a$ , unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ astfel încât $f(x)+f(-x)=2020$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^x+3^{1-x}=4$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie cuprins între $\sqrt{122}$ și $\sqrt{170}$ .
5.Se consideră paralelogramul $ABCD$ . Arătați că $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD}+3\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CA}$ .
6.Lungimile laturilor unui triunghi sunt egale cu $2$ , $3$ și $4$ . Arătați că triunghiul este obtuzunghic.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A=\begin{pmatrix}3&13\\-1&-4\end{pmatrix}

și

I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

a.Arătați că $\det A=\det(A+I_2)$ .
b.Determinați numărul real $a$ , știind că $A\cdot A\cdot A=aI_2$ .
c.Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m\neq n$ , pentru care $\det(A+mI_2)=\det(A+nI_2)$ .

Pe mulțimea

M=(0,1)

se definește legea de compoziție

x\circ y=\dfrac{xy}{1-x-y+2xy}

a.Arătați că $x\circ\dfrac{1}{2}=x$ , pentru orice $x\in M$ .
b.Demonstrați că legea de compoziție " $\circ$ " este comutativă.
c.Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to(0,1)$ , $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ . Arătați că $f(x)\circ f(y)=f(xy)$ , pentru orice $x,y\in(0,+\infty)$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{e^x+x}{e^x}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Demonstrați că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A\bigl(1,f(1)\bigr)$ este paralelă cu asimptota spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ .
c.Arătați că $g'(x)+g(x)=\dfrac{1}{e^x}$ , pentru orice număr real $x$ , unde $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=f''(x)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=4x-\dfrac{2x}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(x^2+1\right)f(x)\,dx=3$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ .
c.Determinați numărul real $a$ pentru care $\displaystyle\int_1^e\left(f(x)+\frac{2x-1}{x^2+1}\right)\ln x\,dx=e^2+a$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.