Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 13

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 13. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că modulul numărului complex $z=\dfrac{1+2i}{1-2i}$ este egal cu $1$ .
2.Arătați că funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x$ este pară.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+2}=x$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă ambele cifre divizibile cu $3$ .
5.În triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$ , ecuația mediatoarei laturii $AC$ este $y=3x+1$ și ecuația perpendicularei din $A$ pe $BC$ este $2y=x+7$ . Determinați coordonatele centrului cercului circumscris triunghiului $ABC$ .
6.Determinați $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , știind că $\sin x\cos(\pi-x)-\sin(\pi-x)\cos x=-1$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix} 1 & \ln a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

, unde

a\in(0,+\infty)

a.Arătați că $\det(A(a))=1$ , pentru orice $a\in(0,+\infty)$ .
b.Demonstrați că $A(a)\cdot A(b)=A(ab)$ , pentru orice $a,b\in(0,+\infty)$ .
c.Determinați $a\in(0,+\infty)$ , astfel încât $A(a)\cdot A(a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}1&2020\\0&1\end{pmatrix}$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

x\circ y=\dfrac{1}{3}xy+x+y

a.Demonstrați că $x\circ y=\dfrac{1}{3}(x+3)(y+3)-3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
b.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=3x-3$ . Arătați că $f(xy)=f(x)\circ f(y)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
c.Demonstrați că $x_1\circ x_2\circ\cdots\circ x_n=\dfrac{(x_1+3)(x_2+3)\cdots(x_n+3)-3^n}{3^{n-1}}$ , pentru orice $n\in\mathbb{N}$ , $n\ge 2$ și orice numere reale $x_1,x_2,\ldots,x_{n-1}$ și $x_n$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}

a.Arătați că $f'(x)=-\dfrac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-1}}$ , $x\in(1,+\infty)$ .
b.Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=2$ , situat pe graficul funcției $f$ .
c.Determinați coordonatele punctului de intersecție a celor două asimptote ale graficului funcției $f$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1\left(f(x)-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\right)dx=\dfrac{1}{3}$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^4(f(x)-f(-x))\,dx$ .
c.Determinați numărul real $a$ , $a>4$ , astfel încât $\displaystyle\int_4^a\dfrac{f(x)}{x}\,dx=10+\ln\dfrac{a+\sqrt{a^2+9}}{9}$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.