Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 15

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 15. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că $\left(2+3i\right)^2=i\left(5i+12\right)$ , unde $i^2=-1$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x+a$ . Determinați numărul real $a$ , astfel încât $(f\circ f)(x)=f(x+1)$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5\cdot 2^{x+1}\cdot 3^x=12\cdot 5^x$ .
4.Determinați numărul funcțiilor $f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}$ , care au proprietatea $f(1)\ge 3$ .
5.În reperul cartezian $xOy$ , se consideră rombul $ABCD$ cu $A(-1,3)$ și $C(-2,4)$ . Determinați panta dreptei $BD$ .
6.Determinați $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , astfel încât $\cos 2x\cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin 2x\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(x)=\begin{pmatrix}2^x & 0 \\ 0 & 3^x\end{pmatrix}

, unde

x

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(x))=6^x$ , pentru orice număr real $x$ .
b.Determinați numărul real $x$ , știind că $A(x)\cdot\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\cdot A(x)$ .
c.Demonstrați că orice matrice $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $X\cdot X=A(1)$ are două elemente numere iraționale.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x\circ y=x^2+xy+y^2

a.Arătați că $x\circ x\ge 0$ , pentru orice număr real $x$ .
b.Se consideră numerele reale $a$ și $b$ cu $a\ne b$ . Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ a=x\circ b$ .
c.Determinați numărul real $x$ cu proprietatea că $x\circ(x+1)=-x^3$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=2x-(x+1)\ln(x+1)

a.Arătați că $f'(x)=1-\ln(x+1)$ , $x\in(-1,+\infty)$ .
b.Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este concavă.

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x-e^x

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=\dfrac{3}{2}-e$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^1 xf(x)\,dx$ .
c.Pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n\bigl(x-f(x)\bigr)\,dx$ . Demonstrați că $I_n+nI_{n-1}=e$ , pentru orice număr natural $n$ , $n\ge 2$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.