Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 16

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 16. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Determinați partea întreagă a numărului $2+3\sqrt{5}$ .
2.Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-4x+5$ , $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=2-x$ și $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $h(x)=2+x$ . Arătați că $(f\circ g)(x)=(f\circ h)(x)$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}=2\sqrt{3}$ .
4.Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\ldots,30\}$ . Determinați numărul de elemente ale mulțimii $A$ care sunt divizibile cu $2$ sau cu $3$ .
5.Se consideră triunghiul $ABC$ , punctul $G$ centrul său de greutate și punctele $M$ și $N$ astfel încât $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{CN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{CA}$ . Arătați că punctele $M$ , $N$ și $G$ sunt coliniare.
6.Arătați că, dacă triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc de rază $\dfrac{1}{2}$ , atunci $\cos^2 A=1-BC^2$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a)=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ a & 2 \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(a))=4$ , pentru orice număr real $a$ .
b.Arătați că $A(a)\cdot A(b)=2A(a+b)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c.Determinați numărul real $x$ și numărul natural $n$ pentru care $A(1)\cdot A(2)\cdots A(5)=2^n A(x)$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x\circ y=x+y-7

a.Arătați că $5\circ 2=0$ .
b.Se consideră funcția $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $f(x)=7+\log_7 x$ . Arătați că $f(x)\circ f(y)=f(xy)$ , pentru orice $x,y\in(0,+\infty)$ .
c.Demonstrați că $a^2\circ b^2\ne 0$ , pentru orice numere întregi $a$ și $b$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=e^{2x}(x-5)

a.Arătați că $f'(x)=e^{2x}(2x-9)$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Calculați $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ .
c.Arătați că $e^{2x}\le\dfrac{e^9}{2(5-x)}$ , pentru orice $x\in(-\infty,5)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^2 f(x)\sqrt{x^2+1}\,dx=2$ .
b.Arătați că $\displaystyle\int_1^2\left(f(x)+f\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)dx=\sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln\dfrac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}}$ .
c.Determinați $a\in(1,+\infty)$ astfel încât $\displaystyle\int_0^x f(e^t)\,dt=\ln(e^x+\sqrt{e^{2x}+1})+\ln(a-1)$ , pentru orice număr real $x$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.