Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 17

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 17. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n\ge 1}$ cu $a_1=1-3\sqrt{3}$ și rația $r=\sqrt{3}$ . Arătați că partea fracționară a lui $a_5$ este egală cu $\sqrt{3}-1$ .
2.Se consideră $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . Arătați că numărul $f(-2)\cdot f(-1)\cdot f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)$ este natural.
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(5x-1)=2\log_3(x+1)$ .
4.Determinați numărul de mulțimi $X$ cu proprietatea $\{1,2,3\}\subset X\subset\{1,2,3,4,5\}$ .
5.Se consideră vectorii $\vec{u}=a\vec{i}+3\vec{j}$ și $\vec{v}=2\vec{i}+b\vec{j}$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$ , știind că $2\vec{u}+3\vec{v}=\vec{0}$ .
6.Se consideră triunghiul $ABC$ , dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $BC=8\sqrt{2}$ . Arătați că raza cercului înscris în $\Delta ABC$ este egală cu $4(2-\sqrt{2})$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

A(a)=\begin{pmatrix} 1 & a \\ a^2 & a^3 \end{pmatrix}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det(A(a))=0$ , pentru orice număr real $a$ .
b.Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(A(2)+xI_2)=0$ .
c.Arătați că, dacă $A(a)\cdot A(b)=A(b)\cdot A(a)$ , atunci $a=b$ .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x*y=\sqrt[3]{x^2+y^2}

a.Arătați că $0*8=4$ .
b.Demonstrați că legea de compoziție „ $*$ ” nu are element neutru.
c.Demonstrați că există o infinitate de perechi $(m,n)$ de numere naturale nenule pentru care numărul $m*n$ este natural nenul.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(-1,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x-\sqrt{x+1}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}$ , $x\in(-1,+\infty)$ .
b.Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$ .
c.Demonstrați că $\ln x\ge\sqrt{\ln x+1}+1-\sqrt{2}$ , pentru orice $x\in[e,+\infty)$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=e^x\left(x^2-4x+5\right)

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=\dfrac{10}{3}$ .
b.Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă.
c.Determinați numerele reale $a$ , $b$ și $c$ astfel încât funcția $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $F(x)=e^x\left(ax^2+bx+c\right)$ este o primitivă a funcției $f$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.