Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 18

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 18. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Arătați că diferența numerelor $5+2\sqrt{3}$ și $\left(1+\sqrt{3}\right)^2$ este număr întreg.
2.Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=2x+1$ și $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $g(x)=2x^2+2x$ . Determinați numerele reale $m$ , pentru care $f(m)=g(m)$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+5x+1}=\sqrt{2x+5}$ .
4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $a$ din mulțimea $A=\{-2,-1,1,2,3\}$ , acesta să verifice inegalitatea $|a+1|\ge 2$ .
5.Se consideră $A$ , $B$ , $C$ și $D$ patru puncte coplanare, $M$ mijlocul segmentului $AD$ și $N$ mijlocul segmentului $BC$ . Arătați că $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$ .
6.Triunghiul $ABC$ este înscris într-un cerc de rază $1$ . Arătați că $4\sin A\cdot\sin B=AC\cdot BC$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A(a,b)=\begin{pmatrix} a+1 & a-1 \\ b & b-2 \end{pmatrix}

, unde

a

și

b

sunt numere reale.

a.Arătați că $\det\bigl(A(2,3)\bigr)=0$ .
b.Demonstrați că, dacă $a\in\mathbb{Q}$ și $b\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ , atunci matricea $A(a,b)$ este inversabilă.
c.Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(-1,\sqrt{2})\cdot X=A(0,0)$ .

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție asociativă

x\circ y=5xy+x+y

a.Arătați că $1\circ 4=25$ .
b.Demonstrați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție " $\circ$ ".
c.Determinați elementele simetrizabile în raport cu legea de compoziție " $\circ$ ".

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{x^2\left(x^2+3\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$ , $x\in\mathbb{R}$ .
b.Se consideră dreapta $d$ , asimptota spre $+\infty$ la graficul lui $f$ . Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $f$ , în care tangenta la grafic este paralelă cu dreapta $d$ .
c.Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $\left[0,\sqrt{3}\right]$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=e^x\cos x

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{f(x)}{e^x}\,dx=0$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx$ .
c.Arătați că $\displaystyle\int_0^{\pi/3}\dfrac{f\!\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{f(x)}\,dx=-e^{\pi/2}\ln 2$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.