Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Științele Naturii — Teste de antrenament 2020 · Testul 20

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Științele Naturii — Bacalaureat 2020, testul de antrenament nr. 20. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.Se consideră $a$ un număr real. Arătați că numărul $z=(a+2i)^2+(a-2i)^2$ este real, unde $i^2=-1$ .
2.Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=-\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Arătați că $f(x)\le 1$ , pentru orice număr real $x$ .
3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{\frac{x+1}{2}}=2\cdot 2^x$ .
4.Determinați numărul funcțiilor $f:\{1,2,3\}\to\{1,2,3,4\}$ care sunt strict crescătoare.
5.În reperul cartezian $xOy$ se consideră dreptele de ecuații $ax+y-5=0$ , unde $a$ este număr real, și $x-4y+3=0$ . Determinați numărul real $a$ pentru care cele două drepte sunt paralele.
6.Determinați $x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ , astfel încât $\mathrm{tg}\,x+3\,\mathrm{ctg}\,x=2\sqrt{3}$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricea

A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{pmatrix}

și sistemul de ecuații

\begin{cases}x+z=1\\y+z=2\\x+y=a\end{cases}

, unde

a

este număr real.

a.Arătați că $\det A=-2$ .
b.Arătați că matricea $B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$ este inversa matricei $A$ .
c.Determinați numărul real $a$ , știind că sistemul de ecuații are soluția $(x_0,y_0,z_0)$ cu $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru

z_1\circ z_2=iz_1z_2+z_1+z_2

a.Arătați că $i\circ i=i$ .
b.Demonstrați că $z_1\circ z_2=i(z_1-i)(z_2-i)+i$ , pentru orice numere complexe $z_1$ și $z_2$ .
c.Demonstrați că simetricul numărului $\dfrac{1}{2}(1+i)$ în raport cu legea de compoziție „ $\circ$ ” este număr real.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}

f(x)=x^n-n\ln x+1

, unde

n

este număr natural nenul.

a.Arătați că $f'(x)=\dfrac{n(x^n-1)}{x}$ , $x\in(0,+\infty)$ .
b.Arătați că $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)-x^n}{x}=0$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .
c.Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care ecuația $f(x)=a$ are soluție în intervalul $(0,1]$ .

Se consideră funcția

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

f(x)=x^2+1

a.Arătați că $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=12$ .
b.Calculați $\displaystyle\int_0^1 f(x)e^{x^3+3x}\,dx$ .
c.Arătați că $15\displaystyle\int_0^1 f^7(x)\,dx-14\displaystyle\int_0^1 f^6(x)\,dx=128$ .

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.