pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Tehnologic — Sesiunea de Toamnă 2018

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Tehnologic — Bacalaureat 2018, sesiunea de toamnă. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — autentificare gratuită.

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.Arătați că (2−12)(3−13)(4−14)⋅15=3\left(2-\dfrac{1}{2}\right)\left(3-\dfrac{1}{3}\right)\left(4-\dfrac{1}{4}\right)\cdot\dfrac{1}{5}=3.
  2. 2.Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2f(x)=x^2+2. Determinați numerele reale aa pentru care f(a)+f(a+1)=5f(a)+f(a+1)=5.
  3. 3.Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x−4=255^{2x-4}=25.
  4. 4.Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={10,15,20,25,30,35,40,45,50}M=\{10,15,20,25,30,35,40,45,50\}, acesta să fie un număr divizibil cu 1010.
  5. 5.În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele A(6,1)A(6,1) și B(2,5)B(2,5). Calculați lungimea segmentului OMOM, unde MM este mijlocul segmentului ABAB.
  6. 6.Arătați că 2sin⁡45∘⋅cos⁡45∘−sin⁡245∘−cos⁡260∘=142\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ-\sin^2 45^\circ-\cos^2 60^\circ=\dfrac{1}{4}.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele A=(5148)A = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} și M(a)=(a−214a+1)M(a) = \begin{pmatrix} a-2 & 1 \\ 4 & a+1 \end{pmatrix}, unde aa este număr real.
  1. a.Arătați că det⁡A=36\det A = 36.
  2. b.Determinați valorile reale ale lui aa pentru care matricea M(a)M(a) este inversabilă.
  3. c.Determinați numerele reale xx și yy pentru care M(x)⋅M(y)=AM(x) \cdot M(y) = A.
Se consideră polinomul f=X3+mX−6f = X^3 + mX - 6, unde mm este număr real.
  1. a.Arătați că f(1)=m−5f(1) = m - 5, pentru orice număr real mm.
  2. b.Determinați numărul real mm pentru care x12+x22+x32=4x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 4, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile polinomului ff.
  3. c.Pentru m=−7m = -7, determinați numerele reale pp și qq, pentru care f=(X+1)(X2+pX+q)f = (X + 1)\left(X^2 + pX + q\right).

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3.
  1. a.Arătați că f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x-2), x∈Rx \in \mathbb{R}.
  2. b.Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=1x = 1, situat pe graficul funcției ff.
  3. c.Demonstrați că f(x)≥−1f(x) \geq -1, pentru orice x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty).
Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={3x2−x,x∈(−∞,1]2+1x⋅ln⁡x,x∈(1,+∞)f(x) = \begin{cases} 3x^2 - x, & x \in (-\infty, 1] \\ 2 + \dfrac{1}{x} \cdot \ln x, & x \in (1, +\infty) \end{cases}.
  1. a.Arătați că ∫−11f(x) dx=2\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2.
  2. b.Arătați că funcția ff admite primitive pe R\mathbb{R}.
  3. c.Determinați numărul natural nn pentru care ∫02f(x) dx=n2−4+ln⁡222\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \dfrac{n^2 - 4 + \ln^2 2}{2}.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.