pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?
Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Tehnologic — Sesiunea de Toamnă 2019

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Tehnologic — Bacalaureat 2019, sesiunea de toamnă. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — fără cont, direct în browser.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

  1. 1.
    Arătați că (32−23):(32+23)⋅135=1\left(\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}\right):\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{3}\right)\cdot\dfrac{13}{5}=1.
  2. 2.
    Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−4f(x)=2x-4. Determinați numărul real mm, știind că f(m+1)=mf(m+1)=m.
  3. 3.
    Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡7(2x+3)=log⁡79\log_7(2x+3)=\log_7 9.
  4. 4.
    Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A={10,20,30,40,50,60,70,80,90}A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}, acesta să fie multiplu de 33.
  5. 5.
    În reperul cartezian xOyxOy se consideră punctele M(4,1)M(4,1), N(1,5)N(1,5) și P(4,5)P(4,5). Calculați aria triunghiului MNPMNP.
  6. 6.
    Arătați că 13⋅sin⁡60°+sin⁡245°=1\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\sin 60°+\sin^2 45°=1.

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și M(a)=(1+a−aa1−a)M(a) = \begin{pmatrix} 1+a & -a \\ a & 1-a \end{pmatrix}, unde aa este număr real.
  1. a.
    Arătați că det⁡A=−2\det A = -2.
  2. b.
    Demonstrați că M(a)⋅M(b)=M(a+b)M(a) \cdot M(b) = M(a+b), pentru orice numere reale aa și bb.
  3. c.
    Determinați matricea X∈M2(R)X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care M(1)⋅X⋅M(2)=AM(1) \cdot X \cdot M(2) = A.
Se consideră polinomul f=2X3−4X2+4X−3f = 2X^3 - 4X^2 + 4X - 3.
  1. a.
    Arătați că f(0)=−3f(0) = -3.
  2. b.
    Demonstrați că numărul a=3x1+3x2+3x3a = \dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2} + \dfrac{3}{x_3} este natural, unde x1x_1, x2x_2 și x3x_3 sunt rădăcinile lui ff.
  3. c.
    Demonstrați că polinomul ff nu are toate rădăcinile reale.

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=xx6+5f(x) = \dfrac{x}{x^6 + 5}.
  1. a.
    Arătați că f′(x)=5(1−x3)(1+x3)(x6+5)2f'(x) = \dfrac{5\left(1 - x^3\right)\left(1 + x^3\right)}{\left(x^6 + 5\right)^2}, x∈Rx \in \mathbb{R}.
  2. b.
    Determinați ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=0x = 0 situat pe graficul funcției ff.
  3. c.
    Determinați mulțimea valorilor funcției ff.
Se consideră funcția f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=(x−1)exf(x)=(x-1)e^x.
  1. a.
    Arătați că ∫01f(x)ex dx=−12\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x}\,dx = -\dfrac{1}{2}.
  2. b.
    Demonstrați că F:R→RF:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, F(x)=(x−2)ex+2019F(x)=(x-2)e^x+2019 este o primitivă a funcției ff.
  3. c.
    Calculați ∫01f2(x)f′(x) dx\displaystyle\int_0^1 f^2(x)f'(x)\,dx.
Test rapidCe notă ai lua azi la BAC?5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.
Testează-te

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-aDerivateclasa a XI-aIntegrala definităclasa a XII-aLogaritmiclasa a XI-aDeterminanțiclasa a XI-aLimite de funcțiiclasa a XI-a

Formule pentru BAC Tehnologic

Tabele complete pentru capitolele examinate la BAC Tehnologic:

Matrice și determinanțiFormule logaritmiFormule derivateFormule integrale

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.