Subiecte BAC oficiale

Subiecte BAC Matematică M2 · Tehnologic — Sesiunea de Vară 2019

Rezolvare interactivă gratuită, pas cu pas, a subiectului oficial de Matematică M2 · Tehnologic — Bacalaureat 2019, sesiunea de vară. Include PDF-ul oficial și baremul de corectare.

Rezolvă varianta interactiv, gratuitPe pagini, cu barem și notă simulată — fără cont, direct în browser.

Documente oficiale

Subiectul oficial (PDF)Baremul oficial de corectare (PDF)

Subiectele oficiale

Subiectul I

1.
Arătați că $\sqrt{7}\left(\sqrt{7}+1\right)-\sqrt{7}=7$ .
2.
Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-6x+8$ . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$ .
3.
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5\left(x^2+9\right)=2$ .
4.
După o ieftinire cu $40\%$ , prețul unui obiect este $300$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.
5.
În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,2)$ , $B(-3,2)$ și $C(0,6)$ . Determinați, în triunghiul $ABC$ , lungimea medianei din vârful $C$ .
6.
Arătați că $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin 60°-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sin 45°=\dfrac{1}{4}$ .

Subiectul al II-lea

Se consideră matricele

A = \begin{pmatrix} 6 & -10 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}

I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

și

M(a) = I_2 + aA

, unde

a

este număr real.

a.
Arătați că $\det A = 0$ .
b.
Demonstrați că $M(a) \cdot M(b) = M(a+b+ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .
c.
Determinați numărul real $a$ pentru care $M(1) + M(2) + \ldots + M(2019) = 2019 \cdot M(a)$ .

Se consideră polinomul

f = mX^3 + 2X^2 - mX - 2

, unde

m

este număr real nenul.

a.
Arătați că $f(1) = 0$ , pentru orice număr real nenul $m$ .
b.
Pentru $m = 3$ , determinați rădăcinile polinomului $f$ .
c.
Determinați numărul real nenul $m$ pentru care $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} = -4$ , unde $x_1$ , $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$ .

Subiectul al III-lea

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^3 - 3x + 5

a.
Arătați că $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ , $x \in \mathbb{R}$ .
b.
Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $[0, +\infty)$ .
c.
Demonstrați că $f(x) \leq 7$ , pentru orice $x \in (-\infty, 1]$ .

Se consideră funcția

f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = \sqrt{3x^2 + 6x + 7}

a.
Arătați că $\displaystyle\int_0^1 f^2(x)\,dx = 11$ .
b.
Calculați $\displaystyle\int_{-1}^{1} \dfrac{x+1}{f(x)}\,dx$ .
c.
Demonstrați că, pentru orice $a \in (0, +\infty)$ , suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$ , axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = a$ are aria mai mare sau egală cu $a\sqrt{7}$ .

Test rapidCe notă ai lua azi la BAC?5 grile pe profilul tău, de la Începător la Expert. Scor instant și vezi unde te situezi — fără cont, ~3 minute.

Testează-te

Exersează pe capitole

Probleme rezolvate pe capitolele-cheie din programa de Bacalaureat:

Integraleclasa a XII-a Derivateclasa a XI-a Integrala definităclasa a XII-a Logaritmiclasa a XI-a Determinanțiclasa a XI-a Limite de funcțiiclasa a XI-a

Formule pentru BAC Tehnologic

Tabele complete pentru capitolele examinate la BAC Tehnologic:

Matrice și determinanți Formule logaritmi Formule derivate Formule integrale

Sursă: subiect și barem publicate oficial de Ministerul Educației / Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNEE). Documentele sunt reproduse integral, nealterate; rezolvarea interactivă este material original pbmate.