pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu binomul lui newton — clasa a 10-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu binomul lui newton pentru clasa a 10-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de binomul lui newton.

Exercițiul 1

Dezvoltarea lui (a+b)2(a + b)^2 este:
  1. A. a2+b2a^2 + b^2
  2. B. a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2
  3. C. a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
  4. D. 2(a+b)2(a + b)
Rezolvare

Răspuns corect: C. a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2

Binomul lui Newton dă (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Exercițiul 2

Termenul general Tk+1T_{k+1} din dezvoltarea lui (2x+3)n(2x + 3)^n este:
  1. A. Cnk2kxk3n−kC_{n}^{k} 2^k x^k 3^{n-k}
  2. B. Cnk2n−kxn−k3n−kC_{n}^{k} 2^{n-k} x^{n-k} 3^{n-k}
  3. C. Cnk(2x)n−k3kC_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k
  4. D. Cnk2k3n−kxn−kC_{n}^{k} 2^k 3^{n-k} x^{n-k}
Rezolvare

Răspuns corect: C. Cnk(2x)n−k3kC_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k

Cu a=2xa = 2x și b=3b = 3: Tk+1=Cnk(2x)n−k3kT_{k+1} = C_{n}^{k}(2x)^{n-k} 3^k.

Exercițiul 3

Coeficientul lui x3x^3 în (x+2)5(x + 2)^5 este:
  1. A. 2020
  2. B. 3232
  3. C. 4040
  4. D. 8080
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4040

5−k=3⇒k=25 - k = 3 \Rightarrow k = 2. Coeficient: C52⋅22=10⋅4=40C_{5}^{2} \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40.

Exercițiul 4

Suma tuturor coeficienților binomiali din (x+1)10(x + 1)^{10} este:
  1. A. 1010
  2. B. 100100
  3. C. 10241024
  4. D. 20482048
Rezolvare

Răspuns corect: C. 10241024

Suma coeficienților unui polinom P(x)P(x) este P(1)P(1). Deci ∑k=010C10k=(1+1)10=210=1024\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k} = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024.

Exercițiul 5

În dezvoltarea lui  ⁣(x+1x)6\!\left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right)^{6}, numărul termenilor raționali (adică cu putere întreagă a lui xx) este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: D. 44

Exponentul 6−3k2\dfrac{6 - 3k}{2} este întreg când kk este par: k∈{0,2,4,6}k \in \{0, 2, 4, 6\} — patru valori.

Exercițiul 6

Determinați n∈N∗n \in \mathbb{N}^* pentru care dezvoltarea binomială (1+x)n(1 + x)^n are 1111 termeni.
  1. A. 99
  2. B. 1010
  3. C. 1111
  4. D. 1212
Rezolvare

Răspuns corect: B. 1010

n+1=11⇒n=10n + 1 = 11 \Rightarrow n = 10.
Încă 4 exerciții cu binomul lui newton în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 10-a