PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Binomul lui Newton — formulă, termen general și aplicații

Binomul lui Newton dezvoltă (a+b)n(a + b)^n ca o sumă de n+1n + 1 termeni, fiecare cu un coeficient CnkC_n^k (combinări de nn luate câte kk). Mai jos găsești formula completă, expresia termenului general Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bkT_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k, proprietățile coeficienților binomiali (Pascal, simetrie, suma egală cu 2n2^n) și tehnicile pentru a găsi un termen specific — coeficientul lui xkx^k, termenul liber sau termenul median.

Descarcă tabelul

Tabel binomul lui newton (PDF)

Formula binomului lui Newton

Dezvoltarea completă a lui (a+b)n(a + b)^n. Coeficienții sunt combinările CnkC_n^k, exponenții se distribuie: pe aa descrește de la nn la 00, pe bb crește de la 00 la nn.
  • Formula completăcondiție: n∈Nn \in \mathbb{N}
    (a+b)n=∑k=0nCnk⋅an−k⋅bk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
  • Dezvoltare explicită
    (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+Cn2an−2b2+⋯+Cnnbn(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n b^n
  • Pentru (a−b)n(a - b)^ncondiție: semnul alternează: +,−,+,−,…+, -, +, -, \dots
    (a−b)n=∑k=0n(−1)k⋅Cnk⋅an−k⋅bk(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
  • Caz particular (1+x)n(1 + x)^ncondiție: cea mai des folosită formă la BAC
    (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+⋯+Cnnxn(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n

Termenul general $T_{k+1}$

Numerotarea termenilor pornește de la T1T_1 (corespunde lui k=0k = 0). Termenul Tk+1T_{k+1} este al (k+1)(k+1)-lea, conține coeficientul CnkC_n^k. Aceasta este formula pe care o aplici în 90% din problemele cu binom.
  • Termenul general în (a+b)n(a + b)^ncondiție: k∈{0,1,…,n}k \in \{0, 1, \dots, n\}
    Tk+1=Cnk⋅an−k⋅bkT_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k
  • Coeficientul lui xpx^p în (1+x)n(1 + x)^ncondiție: decurge direct din termenul general cu a=1a = 1, b=xb = x
    coeficient(xp)=Cnp\text{coeficient}(x^p) = C_n^p
  • Coeficientul lui xpx^p în (1+ax)n(1 + ax)^n
    coeficient(xp)=Cnp⋅ap\text{coeficient}(x^p) = C_n^p \cdot a^p
  • Termenul median
    Tn2+1 pentru n par,Tn+12 și Tn+32 pentru n imparT_{\frac{n}{2} + 1} \text{ pentru } n \text{ par},\quad T_{\frac{n+1}{2}} \text{ și } T_{\frac{n+3}{2}} \text{ pentru } n \text{ impar}

Proprietățile coeficienților binomiali

Combinările CnkC_n^k formează triunghiul lui Pascal — fiecare rând începe și se termină cu 11, iar restul se obține prin suma celor doi de deasupra.
  • Definiția combinărilorcondiție: 0≤k≤n0 \leq k \leq n
    Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
  • Simetriacondiție: termenii echidistanți de capete au același coeficient
    Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}
  • Formula lui Pascalcondiție: regula de construcție a triunghiului
    Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}
  • Suma coeficienților binomialicondiție: se obține înlocuind a=b=1a = b = 1 în formula binomului
    Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2nC_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n
  • Suma alternatăcondiție: n≥1n \geq 1; se obține cu a=1a = 1, b=−1b = -1
    Cn0−Cn1+Cn2−⋯+(−1)nCnn=0C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0
  • Suma combinărilor de rang parcondiție: n≥1n \geq 1; pare și impare au sumă egală
    Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+Cn5+⋯=2n−1C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = 2^{n-1}

Aplicații tipice la BAC

Cinci pattern-uri care acoperă majoritatea cerințelor BAC cu binom. Toate se reduc la formula termenului general cu o ecuație convenabilă pe kk.
  • Termenul liber în (x+1/x)n(x + 1/x)^ncondiție: termen liber: n−2k=0⇒k=n/2n - 2k = 0 \Rightarrow k = n/2
    Tk+1=Cnk⋅xn−k⋅x−k=Cnk⋅xn−2kT_{k+1} = C_n^k \cdot x^{n-k} \cdot x^{-k} = C_n^k \cdot x^{n-2k}
  • Coeficient al lui xpx^pcondiție: se cere kk întreg și 0≤k≤n0 \leq k \leq n
    n−2k=p⇒k=n−p2n - 2k = p \Rightarrow k = \frac{n - p}{2}
  • Numărul de termeni din dezvoltare
    (a+b)n are n+1 termeni(a + b)^n \text{ are } n + 1 \text{ termeni}
  • Derivarea sumei pentru identitățicondiție: trucul: ∑k⋅Cnk=n⋅2n−1\sum k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}
    n⋅(1+x)n−1=Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+⋯+nCnnxn−1n \cdot (1 + x)^{n-1} = C_n^1 + 2 C_n^2 x + 3 C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, problemele cu binomul lui Newton apar ocazional, de obicei la Subiectul I problema 4 sau Subiectul II — cerințe scurte cu calculul unui termen specific din dezvoltare, al coeficientului lui $x^k$ sau al unei sume de combinări. Aproximativ 25–30% din variantele recente au cerință explicită cu binom. Formula termenului general $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ rezolvă singură peste 90% din probleme.

Întrebări frecvente despre binomul lui newton

Care este formula binomului lui Newton?

Formula binomului dezvoltă (a + b)^n ca o sumă: (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k · a^(n-k) · b^k. Suma are n + 1 termeni, fiecare cu coeficientul C_n^k (combinări de n luate câte k). Pe a, exponentul descrește de la n la 0; pe b, crește de la 0 la n.

Cum găsesc termenul general Tk+1T_{k+1}?

Formula este T_(k+1) = C_n^k · a^(n-k) · b^k. Atenție la numerotare: T_1 corespunde lui k = 0, T_2 corespunde lui k = 1 și așa mai departe. Pentru a găsi un termen specific, pui condiția cerută (de exemplu n - 2k = 0 pentru termenul liber) și rezolvi pentru k.

Câți termeni are dezvoltarea (a+b)n(a + b)^n?

Exact n + 1 termeni — corespunzând valorilor k = 0, 1, 2, ..., n în formula generală. De exemplu, (a + b)^5 are 6 termeni; (a + b)^10 are 11 termeni. Numărul de termeni este mereu cu unu mai mare decât exponentul, niciodată egal.

De ce Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}?

Pentru că a alege k obiecte dintr-o mulțime cu n elemente este echivalent cu a alege ce n-k obiecte excluzi. Algebric, formula este simetrică în k și n-k. Consecință practică: C_10^7 = C_10^3, deci în loc să calculezi C_10^7 (cu factorial mare) calculezi C_10^3 = 120.

Cum dovedesc că suma coeficienților binomiali este 2n2^n?

Înlocuiește a = 1 și b = 1 în formula binomului: (1 + 1)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k · 1^(n-k) · 1^k = sum_{k=0}^{n} C_n^k. Pe de altă parte, (1 + 1)^n = 2^n. Deci suma combinărilor egalează 2^n. Aceeași tehnică (cu a = 1, b = -1) dă suma alternată egală cu 0.

Cum găsesc termenul liber dintr-o dezvoltare?

Scrii termenul general T_(k+1), aduni exponenții lui x și pui suma egală cu 0. De exemplu, pentru (x + 1/x)^10, termenul general este C_10^k · x^(10-k) · x^(-k) = C_10^k · x^(10-2k); termenul liber are 10 - 2k = 0, deci k = 5, iar termenul este C_10^5 = 252. Dacă ecuația dă k non-întreg, dezvoltarea nu are termen liber.

Pe ce subiecte BAC apar problemele cu binom?

La M1 mate-info apar ocazional, de obicei la Subiectul I sau II — cerințe scurte cu calculul unui termen specific dintr-o dezvoltare, al coeficientului lui x^k, sau al sumei combinărilor. Nu sunt pe fiecare variantă (~20-30% au cerință explicită cu binom), dar formula termenului general + cele patru proprietăți esențiale rezolvă orice problemă standard.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.