Algebră · BAC M1

Binomul lui Newton — formulă, termen general și aplicații

Binomul lui Newton dezvoltă

(a + b)^n

ca o sumă de

n + 1

termeni, fiecare cu un coeficient

C_n^k

(combinări de

n

luate câte

k

). Mai jos găsești formula completă, expresia termenului general

T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k

, proprietățile coeficienților binomiali (Pascal, simetrie, suma egală cu

2^n

) și tehnicile pentru a găsi un termen specific — coeficientul lui

x^k

, termenul liber sau termenul median.

Formula binomului lui Newton

Dezvoltarea completă a lui

(a + b)^n

. Coeficienții sunt combinările

C_n^k

, exponenții se distribuie: pe

a

descrește de la

n

0

, pe

b

crește de la

0

n

Formula completăcondiție: $n \in \mathbb{N}$
$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Dezvoltare explicită
$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^n b^n$
Pentru $(a - b)^n$ condiție: semnul alternează: $+, -, +, -, \dots$
$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \cdot C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Caz particular $(1 + x)^n$ condiție: cea mai des folosită formă la BAC
$(1 + x)^n = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$

AntrenamentExersează binomul lui newton chiar acum84 de exerciții rezolvate pentru clasa a 10-a — alege nivelul tău.

Vezi culegerea capitolului

Fișa PDF

Tabel binomul lui newton (PDF)

Termenul general $T_{k+1}$

Numerotarea termenilor pornește de la

T_1

(corespunde lui

k = 0

). Termenul

T_{k+1}

este al

(k+1)

-lea, conține coeficientul

C_n^k

. Aceasta este formula pe care o aplici în 90% din problemele cu binom.

Termenul general în $(a + b)^n$ condiție: $k \in \{0, 1, \dots, n\}$
$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$
Coeficientul lui $x^p$ în $(1 + x)^n$ condiție: decurge direct din termenul general cu $a = 1$ , $b = x$
$\text{coeficient}(x^p) = C_n^p$
Coeficientul lui $x^p$ în $(1 + ax)^n$
$\text{coeficient}(x^p) = C_n^p \cdot a^p$
Termenul median
$T_{\frac{n}{2} + 1} \text{ pentru } n \text{ par},\quad T_{\frac{n+1}{2}} \text{ și } T_{\frac{n+3}{2}} \text{ pentru } n \text{ impar}$

Test rapidAi formulele în față — vezi dacă le și stăpânești5 grile din toată programa de BAC, de la Începător la Expert. Scor instant, fără cont.

Începe testul

Proprietățile coeficienților binomiali

Combinările

C_n^k

formează triunghiul lui Pascal — fiecare rând începe și se termină cu

1

, iar restul se obține prin suma celor doi de deasupra.

Definiția combinărilorcondiție: $0 \leq k \leq n$
$C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$
Simetriacondiție: termenii echidistanți de capete au același coeficient
$C_n^k = C_n^{n-k}$
Formula lui Pascalcondiție: regula de construcție a triunghiului
$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$
Suma coeficienților binomialicondiție: se obține înlocuind $a = b = 1$ în formula binomului
$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$
Suma alternatăcondiție: $n \geq 1$ ; se obține cu $a = 1$ , $b = -1$
$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \dots + (-1)^n C_n^n = 0$
Suma combinărilor de rang parcondiție: $n \geq 1$ ; pare și impare au sumă egală
$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = 2^{n-1}$

Aplicații tipice la BAC

Cinci pattern-uri care acoperă majoritatea cerințelor BAC cu binom. Toate se reduc la formula termenului general cu o ecuație convenabilă pe

k

Termenul liber în $(x + 1/x)^n$ condiție: termen liber: $n - 2k = 0 \Rightarrow k = n/2$
$T_{k+1} = C_n^k \cdot x^{n-k} \cdot x^{-k} = C_n^k \cdot x^{n-2k}$
Coeficient al lui $x^p$ condiție: se cere $k$ întreg și $0 \leq k \leq n$
$n - 2k = p \Rightarrow k = \frac{n - p}{2}$
Numărul de termeni din dezvoltare
$(a + b)^n \text{ are } n + 1 \text{ termeni}$
Derivarea sumei pentru identitățicondiție: trucul: $\sum k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$
$n \cdot (1 + x)^{n-1} = C_n^1 + 2 C_n^2 x + 3 C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}$

Probleme rezolvate

Unde apar binomul lui newton în probleme rezolvate

Pe BAC matematică mate-info, problemele cu binomul lui Newton apar ocazional, de obicei la Subiectul I problema 4 sau Subiectul II — cerințe scurte cu calculul unui termen specific din dezvoltare, al coeficientului lui $x^k$ sau al unei sume de combinări. Aproximativ 25–30% din variantele recente au cerință explicită cu binom. Formula termenului general $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ rezolvă singură peste 90% din probleme.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Vrei să exersezi, nu doar să citești? Vezi culegerea de exerciții rezolvate — pe clase și capitole, cu rezolvare completă la fiecare.

Întrebări frecvente despre binomul lui newton

Care este formula binomului lui Newton?

Formula binomului dezvoltă (a + b)^n ca o sumă: (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k · a^(n-k) · b^k. Suma are n + 1 termeni, fiecare cu coeficientul C_n^k (combinări de n luate câte k). Pe a, exponentul descrește de la n la 0; pe b, crește de la 0 la n.

Cum găsesc termenul general $T_{k+1}$ ?

Formula este T_(k+1) = C_n^k · a^(n-k) · b^k. Atenție la numerotare: T_1 corespunde lui k = 0, T_2 corespunde lui k = 1 și așa mai departe. Pentru a găsi un termen specific, pui condiția cerută (de exemplu n - 2k = 0 pentru termenul liber) și rezolvi pentru k.

Câți termeni are dezvoltarea $(a + b)^n$ ?

Exact n + 1 termeni — corespunzând valorilor k = 0, 1, 2, ..., n în formula generală. De exemplu, (a + b)^5 are 6 termeni; (a + b)^10 are 11 termeni. Numărul de termeni este mereu cu unu mai mare decât exponentul, niciodată egal.

De ce $C_n^k = C_n^{n-k}$ ?

Pentru că a alege k obiecte dintr-o mulțime cu n elemente este echivalent cu a alege ce n-k obiecte excluzi. Algebric, formula este simetrică în k și n-k. Consecință practică: C_10^7 = C_10^3, deci în loc să calculezi C_10^7 (cu factorial mare) calculezi C_10^3 = 120.

Cum dovedesc că suma coeficienților binomiali este $2^n$ ?

Înlocuiește a = 1 și b = 1 în formula binomului: (1 + 1)^n = sum_{k=0}^{n} C_n^k · 1^(n-k) · 1^k = sum_{k=0}^{n} C_n^k. Pe de altă parte, (1 + 1)^n = 2^n. Deci suma combinărilor egalează 2^n. Aceeași tehnică (cu a = 1, b = -1) dă suma alternată egală cu 0.

Cum găsesc termenul liber dintr-o dezvoltare?

Scrii termenul general T_(k+1), aduni exponenții lui x și pui suma egală cu 0. De exemplu, pentru (x + 1/x)^10, termenul general este C_10^k · x^(10-k) · x^(-k) = C_10^k · x^(10-2k); termenul liber are 10 - 2k = 0, deci k = 5, iar termenul este C_10^5 = 252. Dacă ecuația dă k non-întreg, dezvoltarea nu are termen liber.

Pe ce subiecte BAC apar problemele cu binom?

La M1 mate-info apar ocazional, de obicei la Subiectul I sau II — cerințe scurte cu calculul unui termen specific dintr-o dezvoltare, al coeficientului lui x^k, sau al sumei combinărilor. Nu sunt pe fiecare variantă (~20-30% au cerință explicită cu binom), dar formula termenului general + cele patru proprietăți esențiale rezolvă orice problemă standard.

Provocarea zilnică

Problema zilei, pe e-mail

Trei probleme în fiecare dimineață, cu rezolvarea completă. Gratuit, fără cont.

Cum te pregătești de BAC la matematicăCe programă dai, ce intră la fiecare și de unde începi.Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.