pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu numere complexe — clasa a 10-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu numere complexe pentru clasa a 10-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de numere complexe.

Exercițiul 1

Calculați modulul lui z=3+4iz = 3 + 4i.
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 55

∣z∣=32+42=25=5|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5.

Exercițiul 2

Numărul complex 1+i1−i\dfrac{1 + i}{1 - i} este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ii
  4. D. −i-i
Rezolvare

Răspuns corect: C. ii

1+i1−i⋅1+i1+i=(1+i)21−i2=2i2=i\dfrac{1 + i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{(1 + i)^2}{1 - i^2} = \dfrac{2i}{2} = i.

Exercițiul 3

Forma trigonometrică a lui z=−1+i3z = -1 + i\sqrt{3} este:
  1. A. 2 ⁣(cos⁡π3+isin⁡π3)2\!\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)
  2. B. 3 ⁣(cos⁡2π3+isin⁡2π3)\sqrt{3}\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)
  3. C. 2 ⁣(cos⁡2π3+isin⁡2π3)2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)
  4. D. 2 ⁣(cos⁡5π6+isin⁡5π6)2\!\left(\cos\dfrac{5\pi}{6} + i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2 ⁣(cos⁡2π3+isin⁡2π3)2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)

∣z∣=1+3=2|z| = \sqrt{1 + 3} = 2. Argument: tg⁡θ=3−1=−3\tg\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}, cu zz în cadranul al doilea, deci θ=2π3\theta = \dfrac{2\pi}{3}. Astfel z=2 ⁣(cos⁡2π3+isin⁡2π3)z = 2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right).

Exercițiul 4

Calculați (1+i)8(1 + i)^{8}.
  1. A. −16-16
  2. B. 8i8i
  3. C. 1616
  4. D. 256256
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1616

(1+i)8= ⁣[2]8⋅ ⁣(cos⁡2π+isin⁡2π)=16⋅(1+0)=16(1 + i)^8 = \!\left[\sqrt{2}\right]^{8} \cdot \!\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16 \cdot (1 + 0) = 16.

Exercițiul 5

Mulțimea numerelor complexe zz care satisfac ∣z−1∣=∣z+1∣|z - 1| = |z + 1| este:
  1. A. Un cerc centrat în origine
  2. B. Un cerc centrat în 11
  3. C. Axa imaginară
  4. D. Axa reală
Rezolvare

Răspuns corect: C. Axa imaginară

∣z−1∣=∣z−(−1)∣|z - 1| = |z - (-1)| descrie mulțimea punctelor echidistante față de 11 și −1-1. Aceasta este mediatoarea segmentului dintre ele, adică axa imaginară Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z) = 0.

Exercițiul 6

Mulțimea tuturor soluțiilor complexe ale ecuației z2=−4z^2 = -4 este:
  1. A. {2,−2}\{2, -2\}
  2. B. {2i}\{2i\}
  3. C. {2i,−2i}\{2i, -2i\}
  4. D. {1+i,−1−i}\{1 + i, -1 - i\}
Rezolvare

Răspuns corect: C. {2i,−2i}\{2i, -2i\}

z2=−4⇒z2+4=0⇒(z−2i)(z+2i)=0z^2 = -4 \Rightarrow z^2 + 4 = 0 \Rightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0. Soluții: z=2iz = 2i sau z=−2iz = -2i.
Încă 4 exerciții cu numere complexe în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 10-a