Algebră · BAC M1

Numere complexe — formule, forma trigonometrică și Moivre

Numerele complexe extind realele cu unitatea imaginară

i

definită prin

i^2 = -1

. Un complex se scrie

z = a + bi

(forma algebrică) sau

z = r(\cos t + i \sin t)

(forma trigonometrică), unde

r = |z|

este modulul și

t

este argumentul. Mai jos găsești toate operațiile fundamentale (sumă, produs, cât, conjugat), trecerea între forme, formula lui Moivre pentru puteri și rădăcinile de ordin

n

ale unității.

Forma algebrică — definiție și operații

Un număr complex

z = a + bi

are partea reală

a = \operatorname{Re}(z)

și partea imaginară

b = \operatorname{Im}(z)

. Operațiile elementare se fac ca în algebră, ținând cont că

i^2 = -1

Formule
Formulă	Expresie
Definiția unității imaginarecondiție: puterile lui $i$ se repetă cu perioada $4$	$i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1$
Sumă	$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i$
Produs	$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i$
Conjugatulcondiție: schimbi semnul părții imaginare	$\overline{z} = a - bi$
Modululcondiție: distanța de la origine la $z$ în planul complex	$\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}$
Câtulcondiție: $z_2 \neq 0$ ; truc: amplifici cu conjugatul	$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{\|z_2\|^2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$

Fișa PDF

Tabel numere complexe (PDF)

AntrenamentExersează numere complexe chiar acum126 de exerciții rezolvate pentru clasa a 10-a — alege nivelul tău.

Vezi culegerea capitolului

Proprietățile modulului și conjugatului

Aceste opt proprietăți rezolvă majoritatea cerințelor BAC. Modulul respectă produsele, conjugatul respectă orice operație elementară.

Formule
Formulă	Expresie
Produsul cu conjugatul	$z \cdot \overline{z} = \|z\|^2$
Modulul unui produs	$\|z_1 \cdot z_2\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|$
Modulul unui câtcondiție: $z_2 \neq 0$	$\left\|\frac{z_1}{z_2}\right\| = \frac{\|z_1\|}{\|z_2\|}$
Modulul unei puteri	$\|z^n\| = \|z\|^n$
Conjugatul unei sume	$\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$
Conjugatul unui produs	$\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$
Caracterizarea realelor	$z = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R}$
Caracterizarea imaginar purcondiție: echivalent: $\operatorname{Re}(z) = 0$	$z + \overline{z} = 0 \iff z \text{ imaginar pur}$

Test rapidAi formulele în față — vezi dacă le și stăpânești5 grile de numere complexe, de la Începător la Expert. Scor instant, fără cont.

Începe testul

Forma trigonometrică

Reprezentarea

z = r(\cos t + i \sin t)

separă mărimea (

r = |z|

) de direcția (

t = \arg z

, unghiul cu axa

Ox

). Esențială pentru puteri și rădăcini.

Formule
Formulă	Expresie
Forma trigonometricăcondiție: $r = \|z\|$ , $t = \arg z \in [0, 2\pi)$	$z = r (\cos t + i \sin t)$
Modulul din forma algebrică	$r = \sqrt{a^2 + b^2}$
Argumentul din forma algebricăcondiție: alege $t$ în cadranul corect după semnele lui $a$ și $b$	$\cos t = \frac{a}{r},\quad \sin t = \frac{b}{r}$
Produsul în formă trigonometricăcondiție: module se înmulțesc, argumente se adună	$z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(t_1 + t_2) + i \sin(t_1 + t_2)\bigr)$
Câtul în formă trigonometricăcondiție: module se împart, argumente se scad	$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl(\cos(t_1 - t_2) + i \sin(t_1 - t_2)\bigr)$

Formula lui Moivre și rădăcini

Moivre îți dă orice putere a unui complex direct, fără calcule iterate. Pentru rădăcini, ai exact

n

valori distincte distribuite simetric pe un cerc.

Formule
Formulă	Expresie
Formula lui Moivrecondiție: $n \in \mathbb{Z}$	$z^n = r^n \bigl(\cos(nt) + i \sin(nt)\bigr)$
Rădăcinile de ordin $n$ condiție: $k \in \{0, 1, \dots, n - 1\}$ — exact $n$ valori distincte	$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos \frac{t + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{t + 2k\pi}{n}\right)$
Rădăcinile de ordin $n$ ale unitățiicondiție: $k = 0, 1, \dots, n - 1$ ; pe cercul unitate, distribuite simetric	$\varepsilon_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n}$
Suma rădăcinilor de ordin $n$ ale unitățiicondiție: $n \geq 2$ — sumă de vectori echidistanți pe cerc	$\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_{n-1} = 0$
Produsul rădăcinilor de ordin $n$ ale unității	$\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_1 \cdot \dots \cdot \varepsilon_{n-1} = (-1)^{n+1}$

Probleme rezolvate

Unde apar numere complexe în probleme rezolvate

Pe BAC matematică mate-info, numerele complexe apar pe aproximativ 50–60% din variantele Vară — la Subiectul I problema 2 (calcul scurt cu conjugat sau modul) sau ca parte a unei probleme polinomiale la Subiectul II. Forma algebrică plus operațiile cu conjugat și modul acoperă majoritatea cerințelor; forma trigonometrică și Moivre apar mai rar, doar când enunțul cere o putere mare sau o rădăcină de ordin $n$.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Vrei să exersezi, nu doar să citești? Vezi culegerea de exerciții rezolvate — pe clase și capitole, cu rezolvare completă la fiecare.

Întrebări frecvente despre numere complexe

Ce înseamnă $i^2 = -1$ ?

Este definiția unității imaginare i. În mulțimea numerelor reale, ecuația x^2 = -1 nu are soluție (orice pătrat e ≥ 0). Pentru a o rezolva, introducem un simbol nou, i, cu proprietatea i^2 = -1. Toate operațiile cu i se fac algebric: i^3 = i^2 · i = -i, i^4 = (i^2)^2 = 1, și așa mai departe. Puterile lui i se repetă cu perioada 4.

Cum calculez modulul lui $z = a + bi$ ?

Formula este |z| = sqrt(a^2 + b^2). Geometric, modulul este distanța de la origine la punctul (a, b) din planul complex (interpretând planul cartezian ca plan complex, cu axa Ox pentru parte reală și Oy pentru parte imaginară). Modulul este mereu un număr real pozitiv sau zero.

Cum împart două numere complexe?

Trucul standard: amplifici fracția cu conjugatul numitorului. (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / ((c + di)(c - di)) = (a + bi)(c - di) / (c^2 + d^2). Numitorul devine real (|z_2|^2), iar numărătorul îl dezvolți algebric. Alternativ, în formă trigonometrică, împărțirea înseamnă împărțire de module și scădere de argumente — uneori mai rapidă.

Care e formula lui Moivre și de ce e utilă?

Pentru z = r(cos t + i sin t), formula spune că z^n = r^n · (cos(nt) + i sin(nt)). E utilă pentru că ridicarea la putere a unui complex în formă algebrică e laborioasă (calcul iterat al binoamelor cu i^k), pe când în formă trigonometrică se reduce la ridicarea modulului la putere și înmulțirea argumentului cu n. La BAC, dacă vezi „z^10” sau „(1 + i)^8”, treci la formă trigonometrică.

De ce există exact $n$ rădăcini de ordin $n$ ale unui complex?

Pentru că argumentul unui complex e definit modulo 2π, iar la rădăcină împarți argumentul cu n — dând n valori distincte modulo 2π (corespunzând k = 0, 1, ..., n-1). Geometric, cele n rădăcini sunt vârfurile unui poligon regulat înscris într-un cerc de rază sqrt[n]{r}. Rădăcinile de ordin n ale unității (z = 1) formează un poligon regulat înscris în cercul unitate.

Când e $z$ un număr real?

Două caracterizări echivalente: (1) partea imaginară este 0, adică Im(z) = 0; (2) z coincide cu propriul său conjugat, adică z = z̄. Cea din urmă e foarte utilă în demonstrații: pentru a arăta că o expresie complexă e reală, calculezi conjugatul ei și arăți că e egală cu expresia originală.

Pe ce subiecte BAC apar numerele complexe?

La M1 mate-info apar pe Subiectul I problema 2 (calcul scurt cu conjugat sau modul) sau Subiectul II (problemă pe rădăcini de polinom în C). Pe ultimii cinci ani de mate-info Vară, aproximativ 50-60% din variante au cerință explicită cu complexe. Forma algebrică + conjugat + modul acoperă Subiectul I; pentru Subiectul II, forma trigonometrică și Moivre devin necesare.

Test rapidAi formulele în față — vezi dacă le și stăpânești5 grile de numere complexe, de la Începător la Expert. Scor instant, fără cont.

Începe testul

Provocarea zilnică

Problema zilei, pe e-mail

Trei probleme în fiecare dimineață, cu rezolvarea completă. Gratuit, fără cont.

Pregătire BAC matematică — de unde începiM1, M2 sau M3: structura subiectului, baremul și variantele oficiale.Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.