PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Numere complexe — formule, forma trigonometrică și Moivre

Numerele complexe extind realele cu unitatea imaginară ii definită prin i2=−1i^2 = -1. Un complex se scrie z=a+biz = a + bi (forma algebrică) sau z=r(cos⁡t+isin⁡t)z = r(\cos t + i \sin t) (forma trigonometrică), unde r=∣z∣r = |z| este modulul și tt este argumentul. Mai jos găsești toate operațiile fundamentale (sumă, produs, cât, conjugat), trecerea între forme, formula lui Moivre pentru puteri și rădăcinile de ordin nn ale unității.

Descarcă tabelul

Tabel numere complexe (PDF)

Forma algebrică — definiție și operații

Un număr complex z=a+biz = a + bi are partea reală a=Re⁡(z)a = \operatorname{Re}(z) și partea imaginară b=Im⁡(z)b = \operatorname{Im}(z). Operațiile elementare se fac ca în algebră, ținând cont că i2=−1i^2 = -1.
  • Definiția unității imaginarecondiție: puterile lui ii se repetă cu perioada 44
    i2=−1,i3=−i,i4=1i^2 = -1,\quad i^3 = -i,\quad i^4 = 1
  • Sumă
    (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
  • Produs
    (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i
  • Conjugatulcondiție: schimbi semnul părții imaginare
    z‾=a−bi\overline{z} = a - bi
  • Modululcondiție: distanța de la origine la zz în planul complex
    ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
  • Câtulcondiție: z2≠0z_2 \neq 0; truc: amplifici cu conjugatul
    z1z2=z1⋅z2‾∣z2∣2=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}

Proprietățile modulului și conjugatului

Aceste opt proprietăți rezolvă majoritatea cerințelor BAC. Modulul respectă produsele, conjugatul respectă orice operație elementară.
  • Produsul cu conjugatul
    z⋅z‾=∣z∣2z \cdot \overline{z} = |z|^2
  • Modulul unui produs
    ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|
  • Modulul unui câtcondiție: z2≠0z_2 \neq 0
    ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}
  • Modulul unei puteri
    ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n
  • Conjugatul unei sume
    z1+z2‾=z1‾+z2‾\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}
  • Conjugatul unui produs
    z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}
  • Caracterizarea realelor
    z=z‾  ⟺  z∈Rz = \overline{z} \iff z \in \mathbb{R}
  • Caracterizarea imaginar purcondiție: echivalent: Re⁡(z)=0\operatorname{Re}(z) = 0
    z+z‾=0  ⟺  z imaginar purz + \overline{z} = 0 \iff z \text{ imaginar pur}

Forma trigonometrică

Reprezentarea z=r(cos⁡t+isin⁡t)z = r(\cos t + i \sin t) separă mărimea (r=∣z∣r = |z|) de direcția (t=arg⁡zt = \arg z, unghiul cu axa OxOx). Esențială pentru puteri și rădăcini.
  • Forma trigonometricăcondiție: r=∣z∣r = |z|, t=arg⁡z∈[0,2π)t = \arg z \in [0, 2\pi)
    z=r(cos⁡t+isin⁡t)z = r (\cos t + i \sin t)
  • Modulul din forma algebrică
    r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}
  • Argumentul din forma algebricăcondiție: alege tt în cadranul corect după semnele lui aa și bb
    cos⁡t=ar,sin⁡t=br\cos t = \frac{a}{r},\quad \sin t = \frac{b}{r}
  • Produsul în formă trigonometricăcondiție: module se înmulțesc, argumente se adună
    z1⋅z2=r1r2(cos⁡(t1+t2)+isin⁡(t1+t2))z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 \bigl(\cos(t_1 + t_2) + i \sin(t_1 + t_2)\bigr)
  • Câtul în formă trigonometricăcondiție: module se împart, argumente se scad
    z1z2=r1r2(cos⁡(t1−t2)+isin⁡(t1−t2))\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \bigl(\cos(t_1 - t_2) + i \sin(t_1 - t_2)\bigr)

Formula lui Moivre și rădăcini

Moivre îți dă orice putere a unui complex direct, fără calcule iterate. Pentru rădăcini, ai exact nn valori distincte distribuite simetric pe un cerc.
  • Formula lui Moivrecondiție: n∈Zn \in \mathbb{Z}
    zn=rn(cos⁡(nt)+isin⁡(nt))z^n = r^n \bigl(\cos(nt) + i \sin(nt)\bigr)
  • Rădăcinile de ordin nncondiție: k∈{0,1,…,n−1}k \in \{0, 1, \dots, n - 1\} — exact nn valori distincte
    zn=rn(cos⁡t+2kπn+isin⁡t+2kπn)\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left(\cos \frac{t + 2k\pi}{n} + i \sin \frac{t + 2k\pi}{n}\right)
  • Rădăcinile de ordin nn ale unitățiicondiție: k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n - 1; pe cercul unitate, distribuite simetric
    εk=cos⁡2kπn+isin⁡2kπn\varepsilon_k = \cos \frac{2k\pi}{n} + i \sin \frac{2k\pi}{n}
  • Suma rădăcinilor de ordin nn ale unitățiicondiție: n≥2n \geq 2 — sumă de vectori echidistanți pe cerc
    ε0+ε1+⋯+εn−1=0\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \dots + \varepsilon_{n-1} = 0
  • Produsul rădăcinilor de ordin nn ale unității
    ε0⋅ε1⋅⋯⋅εn−1=(−1)n+1\varepsilon_0 \cdot \varepsilon_1 \cdot \dots \cdot \varepsilon_{n-1} = (-1)^{n+1}
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, numerele complexe apar pe aproximativ 50–60% din variantele Vară — la Subiectul I problema 2 (calcul scurt cu conjugat sau modul) sau ca parte a unei probleme polinomiale la Subiectul II. Forma algebrică plus operațiile cu conjugat și modul acoperă majoritatea cerințelor; forma trigonometrică și Moivre apar mai rar, doar când enunțul cere o putere mare sau o rădăcină de ordin $n$.

Întrebări frecvente despre numere complexe

Ce înseamnă i2=−1i^2 = -1?

Este definiția unității imaginare i. În mulțimea numerelor reale, ecuația x^2 = -1 nu are soluție (orice pătrat e ≥ 0). Pentru a o rezolva, introducem un simbol nou, i, cu proprietatea i^2 = -1. Toate operațiile cu i se fac algebric: i^3 = i^2 · i = -i, i^4 = (i^2)^2 = 1, și așa mai departe. Puterile lui i se repetă cu perioada 4.

Cum calculez modulul lui z=a+biz = a + bi?

Formula este |z| = sqrt(a^2 + b^2). Geometric, modulul este distanța de la origine la punctul (a, b) din planul complex (interpretând planul cartezian ca plan complex, cu axa Ox pentru parte reală și Oy pentru parte imaginară). Modulul este mereu un număr real pozitiv sau zero.

Cum împart două numere complexe?

Trucul standard: amplifici fracția cu conjugatul numitorului. (a + bi) / (c + di) = (a + bi)(c - di) / ((c + di)(c - di)) = (a + bi)(c - di) / (c^2 + d^2). Numitorul devine real (|z_2|^2), iar numărătorul îl dezvolți algebric. Alternativ, în formă trigonometrică, împărțirea înseamnă împărțire de module și scădere de argumente — uneori mai rapidă.

Care e formula lui Moivre și de ce e utilă?

Pentru z = r(cos t + i sin t), formula spune că z^n = r^n · (cos(nt) + i sin(nt)). E utilă pentru că ridicarea la putere a unui complex în formă algebrică e laborioasă (calcul iterat al binoamelor cu i^k), pe când în formă trigonometrică se reduce la ridicarea modulului la putere și înmulțirea argumentului cu n. La BAC, dacă vezi „z^10” sau „(1 + i)^8”, treci la formă trigonometrică.

De ce există exact nn rădăcini de ordin nn ale unui complex?

Pentru că argumentul unui complex e definit modulo 2π, iar la rădăcină împarți argumentul cu n — dând n valori distincte modulo 2π (corespunzând k = 0, 1, ..., n-1). Geometric, cele n rădăcini sunt vârfurile unui poligon regulat înscris într-un cerc de rază sqrt[n]{r}. Rădăcinile de ordin n ale unității (z = 1) formează un poligon regulat înscris în cercul unitate.

Când e zz un număr real?

Două caracterizări echivalente: (1) partea imaginară este 0, adică Im(z) = 0; (2) z coincide cu propriul său conjugat, adică z = z̄. Cea din urmă e foarte utilă în demonstrații: pentru a arăta că o expresie complexă e reală, calculezi conjugatul ei și arăți că e egală cu expresia originală.

Pe ce subiecte BAC apar numerele complexe?

La M1 mate-info apar pe Subiectul I problema 2 (calcul scurt cu conjugat sau modul) sau Subiectul II (problemă pe rădăcini de polinom în C). Pe ultimii cinci ani de mate-info Vară, aproximativ 50-60% din variante au cerință explicită cu complexe. Forma algebrică + conjugat + modul acoperă Subiectul I; pentru Subiectul II, forma trigonometrică și Moivre devin necesare.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.