pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu puteri, radicali, logaritmi — clasa a 10-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu puteri, radicali, logaritmi pentru clasa a 10-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de puteri, radicali, logaritmi.

Exercițiul 1

Valoarea lui 82/38^{2/3} este:
  1. A. 163\dfrac{16}{3}
  2. B. 83\dfrac{8}{3}
  3. C. 44
  4. D. 1616
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

83=2\sqrt[3]{8} = 2, deci 82/3=22=48^{2/3} = 2^2 = 4.

Exercițiul 2

După raționalizarea numitorului, 13−1\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} este egal cu:
  1. A. 3−1\sqrt{3} - 1
  2. B. 3−12\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}
  3. C. 3+12\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}
  4. D. 12\dfrac{1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 3+12\dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}

13−1⋅3+13+1=3+13−1=3+12\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}.

Exercițiul 3

Soluția ecuației 3x+1=273^{x+1} = 27 este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 99
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

27=3327 = 3^3, deci 3x+1=33⇒x+1=3⇒x=23^{x+1} = 3^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2.

Exercițiul 4

Valoarea lui log⁡26+log⁡283\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3} este:
  1. A. log⁡283\log_2 \dfrac{8}{3}
  2. B. log⁡214\log_2 14
  3. C. 44
  4. D. 66
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

log⁡26+log⁡283=log⁡2 ⁣(6⋅83)=log⁡216=4\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3} = \log_2\!\left(6 \cdot \dfrac{8}{3}\right) = \log_2 16 = 4.

Exercițiul 5

Soluția ecuației log⁡2(2x2+x+1)−log⁡2(x2−x+2)=1\log_2(2x^2 + x + 1) - \log_2(x^2 - x + 2) = 1 este:
  1. A. {1}\{1\}
  2. B. {−1}\{-1\}
  3. C. {1,−3}\{1, -3\}
  4. D. Nicio soluție reală
Rezolvare

Răspuns corect: A. {1}\{1\}

2x2+x+1=2(x2−x+2)⇒2x2+x+1=2x2−2x+4⇒3x=3⇒x=12x^2 + x + 1 = 2(x^2 - x + 2) \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 2x^2 - 2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1. Verificarea domeniului: pentru x=1x = 1, 2x2+x+1=4>02x^2 + x + 1 = 4 > 0 și x2−x+2=2>0x^2 - x + 2 = 2 > 0, deci ambii logaritmi sunt definiți. Mulțimea soluțiilor este {1}\{1\}.

Exercițiul 6

Dacă x=log⁡25x = \log_2 5, atunci 4x4^x este egal cu:
  1. A. 55
  2. B. 1010
  3. C. 2525
  4. D. log⁡225\log_2 25
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2525

4x=22x=(2x)2=52=254^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = 5^2 = 25.
Încă 4 exerciții cu puteri, radicali, logaritmi în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 10-a