Algebră · BAC M1

Formule logaritmi — proprietăți, schimbarea bazei și ecuații

Q: Ce este logaritmul în baza $a$?

Logaritmul în baza a al lui b, notat log_a b, este exponentul la care trebuie să ridici a ca să obții b. De exemplu, log_2 8 = 3 pentru că 2^3 = 8. Definiția cere a > 0, a diferit de 1 și b > 0 — fără aceste condiții expresia nu are sens.

Logaritmii au o duzină de proprietăți care reduc orice expresie complicată la calcule simple. Mai jos găsești definiția, valorile esențiale (

\log_a 1 = 0

\log_a a = 1

), proprietățile fundamentale (suma, diferența, puterea), formula de schimbare a bazei și tehnicile pentru ecuațiile și inecuațiile logaritmice care apar la Subiectul I și II — verificate față de baremele oficiale din ultimii cinci ani.

Definiție și valori esențiale

Logaritmul

\log_a b

este exponentul la care ridici baza

a

ca să obții

b

. Definiția cere

a > 0

a \neq 1

și

b > 0

— fără ele expresia nu are sens.

Definiția logaritmuluicondiție: $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$
$\log_a b = x \iff a^x = b$
Logaritmul lui 1
$\log_a 1 = 0$
Logaritmul bazei
$\log_a a = 1$
Logaritmul unei puteri a bazei
$\log_a a^k = k$
Identitatea fundamentalăcondiție: $b > 0$
$a^{\log_a b} = b$
Notații consacratecondiție: $e \approx 2{,}718$
$\lg b = \log_{10} b, \quad \ln b = \log_e b$

AntrenamentExersează logaritmi chiar acum10 exerciții rezolvate pentru clasa a 11-a — alege nivelul tău.

Vezi culegerea capitolului

Fișa PDF

Tabel logaritmi (PDF)

Proprietăți fundamentale — produs, cât, putere

Cele trei proprietăți care apar pe fiecare BAC. Toate cer condiția

a > 0

a \neq 1

și argumentele strict pozitive — verifică domeniul înainte să aplici.

Logaritmul unui produscondiție: $x > 0$ , $y > 0$
$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$
Logaritmul unui câtcondiție: $x > 0$ , $y > 0$
$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
Logaritmul unei putericondiție: $x > 0$ , $k \in \mathbb{R}$
$\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x$
Logaritmul unui radicalcondiție: $x > 0$ , $n \in \mathbb{N}^*$
$\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x$
Putere la bazăcondiție: $n \neq 0$
$\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$
Putere atât la bază cât și la argumentcondiție: $n \neq 0$
$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$

Test rapidAi formulele în față — vezi dacă le și stăpânești5 grile de logaritmi, de la Începător la Expert. Scor instant, fără cont.

Începe testul

Schimbarea bazei

Când ai logaritmi cu baze diferite în aceeași expresie, treci totul într-o bază comună. Cea mai folosită alegere e baza

e

(logaritm natural) sau baza 10.

Formula generalăcondiție: $c > 0$ , $c \neq 1$
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$
Inversa bazeicondiție: $b \neq 1$
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
Lanț de logaritmicondiție: $b \neq 1$
$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$
Trecere între lg și ln
$\lg b = \frac{\ln b}{\ln 10}, \quad \ln b = \frac{\lg b}{\lg e}$

Ecuații logaritmice

Trei tipuri standard. Prima regulă universală: pune condiția de existență (

a > 0

a \neq 1

, argumente

> 0

) înainte să rezolvi — fără asta pierzi puncte la BAC chiar dacă ai numărul corect.

Egalitate de logaritmi în aceeași bazăcondiție: $f(x) > 0$ , $g(x) > 0$
$\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)$
Logaritm egal cu o constantăcondiție: $f(x) > 0$
$\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c$
Ecuație cu baza variabilăcondiție: $f(x) > 0$ , $f(x) \neq 1$ , $g(x) > 0$
$\log_{f(x)} g(x) = c \Rightarrow g(x) = f(x)^c$
Tehnica substituțieicondiție: reduce ecuațiile pătratice în $\log_a x$ la o ecuație în $t$
$t = \log_a x \Rightarrow x = a^t$

Inecuații logaritmice — regula sensului

Aceeași regulă pe care o uită toți în clasa a 10-a: funcția

\log_a

e crescătoare dacă

a > 1

și descrescătoare dacă

0 < a < 1

. Sensul inecuației se păstrează în primul caz și se schimbă în al doilea.

Bază supraunitarăcondiție: $a > 1$
$\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x) > 0$
Bază subunitarăcondiție: $0 < a < 1$
$\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow 0 < f(x) < g(x)$
Logaritm față de o constantă (bază $> 1$ )condiție: $a > 1$ , $f(x) > 0$
$\log_a f(x) > c \Rightarrow f(x) > a^c$
Logaritm față de o constantă (bază $< 1$ )condiție: $0 < a < 1$
$\log_a f(x) > c \Rightarrow 0 < f(x) < a^c$

Probleme rezolvate

Unde apar formule logaritmi în probleme rezolvate

Pe BAC matematică M1, logaritmii apar cel mai des la Subiectul I problema 1 — o cerință scurtă cu proprietăți (sumă, diferență, putere) și o constantă recunoscută ($\lg 100$, $\ln e$). Pe profilul mate-info apar și în Subiectul II ca parte a unei derivate $(\ln f(x))'$ sau a unei ecuații. Dacă reții doar definiția + cele trei proprietăți fundamentale, prinzi punctaj parțial pe peste 80% din variante.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Vrei să exersezi, nu doar să citești? Vezi culegerea de exerciții rezolvate — pe clase și capitole, cu rezolvare completă la fiecare.

Întrebări frecvente despre formule logaritmi

Ce este logaritmul în baza $a$ ?

Logaritmul în baza a al lui b, notat log_a b, este exponentul la care trebuie să ridici a ca să obții b. De exemplu, log_2 8 = 3 pentru că 2^3 = 8. Definiția cere a > 0, a diferit de 1 și b > 0 — fără aceste condiții expresia nu are sens.

Care sunt condițiile de existență pentru un logaritm?

Trei condiții simultan: baza pozitivă (a > 0), baza diferită de 1 (a ≠ 1) și argumentul strict pozitiv (b > 0). La BAC, prima regulă când întâlnești o ecuație logaritmică este să scrii condițiile de existență — apoi rezolvi. Soluțiile care nu respectă condițiile se elimină.

Când pot aplica formula $\log(xy) = \log x + \log y$ ?

Doar când ambele argumente sunt strict pozitive (x > 0 și y > 0). Dacă x sau y poate fi negativ (de exemplu într-un produs unde semnul nu e fixat), nu poți descompune direct — trebuie întâi să studiezi semnul. Greșeala clasică e să aplici proprietatea fără să verifici domeniul.

De ce se schimbă sensul inecuației când baza e subunitară?

Pentru că funcția log_a este descrescătoare când 0 < a < 1 — adică valorile mai mari ale lui x dau logaritmi mai mici. Așa că dacă log_a f > log_a g, înseamnă că f este mai aproape de 0 decât g, deci f < g (cu f, g > 0). Când a > 1, funcția e crescătoare și sensul se păstrează.

Cum aleg baza în formula de schimbare a bazei?

Alege baza care simplifică cel mai mult calculul. Dacă lucrezi cu derivate sau integrale, alege baza e (logaritm natural). Dacă enunțul are puteri de 10, alege baza 10. Dacă toate logaritmii din expresie au aceeași bază comună, treci totul în acea bază — formula log_a b = log_c b / log_c a îți permite orice schimbare.

Care este diferența între $\lg$ și $\ln$ ?

lg este logaritmul în baza 10 (logaritm zecimal), folosit istoric pentru calcule numerice. ln este logaritmul în baza e (≈ 2.718, numărul lui Euler), folosit în analiza matematică pentru că derivata lui ln x este 1/x — cea mai simplă posibilă. La BAC, ln apare în derivate și integrale, lg apare ocazional la Subiectul I.

Pe ce subiecte BAC apar logaritmii?

La M1 mate-info, logaritmii apar pe aproape fiecare variantă, fie la Subiectul I problema 1 (calcul direct cu proprietăți, gen 2lg 100 + lg 2 + lg 5), fie la Subiectul II ca parte a unei ecuații sau a unei expresii de derivat. Pe ultimii cinci ani, peste 80% din variante au cel puțin o cerință logaritmică explicită.

Provocarea zilnică

Problema zilei, pe e-mail

Trei probleme în fiecare dimineață, cu rezolvarea completă. Gratuit, fără cont.

Ghid de pregătire pentru BAC la matematicăPrograma pe profiluri, cum se punctează și primul pas concret.Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.