PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Formule logaritmi — proprietăți, schimbarea bazei și ecuații

Logaritmii au o duzină de proprietăți care reduc orice expresie complicată la calcule simple. Mai jos găsești definiția, valorile esențiale (log⁡a1=0\log_a 1 = 0, log⁡aa=1\log_a a = 1), proprietățile fundamentale (suma, diferența, puterea), formula de schimbare a bazei și tehnicile pentru ecuațiile și inecuațiile logaritmice care apar la Subiectul I și II — verificate față de baremele oficiale din ultimii cinci ani.

Descarcă tabelul

Tabel logaritmi (PDF)

Definiție și valori esențiale

Logaritmul log⁡ab\log_a b este exponentul la care ridici baza aa ca să obții bb. Definiția cere a>0a > 0, a≠1a \neq 1 și b>0b > 0 — fără ele expresia nu are sens.
  • Definiția logaritmuluicondiție: a>0a > 0, a≠1a \neq 1, b>0b > 0
    log⁡ab=x  ⟺  ax=b\log_a b = x \iff a^x = b
  • Logaritmul lui 1
    log⁡a1=0\log_a 1 = 0
  • Logaritmul bazei
    log⁡aa=1\log_a a = 1
  • Logaritmul unei puteri a bazei
    log⁡aak=k\log_a a^k = k
  • Identitatea fundamentalăcondiție: b>0b > 0
    alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b
  • Notații consacratecondiție: e≈2,718e \approx 2{,}718
    lg⁡b=log⁡10b,ln⁡b=log⁡eb\lg b = \log_{10} b, \quad \ln b = \log_e b

Proprietăți fundamentale — produs, cât, putere

Cele trei proprietăți care apar pe fiecare BAC. Toate cer condiția a>0a > 0, a≠1a \neq 1 și argumentele strict pozitive — verifică domeniul înainte să aplici.
  • Logaritmul unui produscondiție: x>0x > 0, y>0y > 0
    log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
  • Logaritmul unui câtcondiție: x>0x > 0, y>0y > 0
    log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y
  • Logaritmul unei putericondiție: x>0x > 0, k∈Rk \in \mathbb{R}
    log⁡a(xk)=k⋅log⁡ax\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x
  • Logaritmul unui radicalcondiție: x>0x > 0, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*
    log⁡axn=1nlog⁡ax\log_a \sqrt[n]{x} = \frac{1}{n} \log_a x
  • Putere la bazăcondiție: n≠0n \neq 0
    log⁡anb=1nlog⁡ab\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b
  • Putere atât la bază cât și la argumentcondiție: n≠0n \neq 0
    log⁡anbm=mnlog⁡ab\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b

Schimbarea bazei

Când ai logaritmi cu baze diferite în aceeași expresie, treci totul într-o bază comună. Cea mai folosită alegere e baza ee (logaritm natural) sau baza 10.
  • Formula generalăcondiție: c>0c > 0, c≠1c \neq 1
    log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
  • Inversa bazeicondiție: b≠1b \neq 1
    log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}
  • Lanț de logaritmicondiție: b≠1b \neq 1
    log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c
  • Trecere între lg și ln
    lg⁡b=ln⁡bln⁡10,ln⁡b=lg⁡blg⁡e\lg b = \frac{\ln b}{\ln 10}, \quad \ln b = \frac{\lg b}{\lg e}

Ecuații logaritmice

Trei tipuri standard. Prima regulă universală: pune condiția de existență (a>0a > 0, a≠1a \neq 1, argumente >0> 0) înainte să rezolvi — fără asta pierzi puncte la BAC chiar dacă ai numărul corect.
  • Egalitate de logaritmi în aceeași bazăcondiție: f(x)>0f(x) > 0, g(x)>0g(x) > 0
    log⁡af(x)=log⁡ag(x)⇒f(x)=g(x)\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x)
  • Logaritm egal cu o constantăcondiție: f(x)>0f(x) > 0
    log⁡af(x)=c⇒f(x)=ac\log_a f(x) = c \Rightarrow f(x) = a^c
  • Ecuație cu baza variabilăcondiție: f(x)>0f(x) > 0, f(x)≠1f(x) \neq 1, g(x)>0g(x) > 0
    log⁡f(x)g(x)=c⇒g(x)=f(x)c\log_{f(x)} g(x) = c \Rightarrow g(x) = f(x)^c
  • Tehnica substituțieicondiție: reduce ecuațiile pătratice în log⁡ax\log_a x la o ecuație în tt
    t=log⁡ax⇒x=att = \log_a x \Rightarrow x = a^t

Inecuații logaritmice — regula sensului

Aceeași regulă pe care o uită toți în clasa a 10-a: funcția log⁡a\log_a e crescătoare dacă a>1a > 1 și descrescătoare dacă 0<a<10 < a < 1. Sensul inecuației se păstrează în primul caz și se schimbă în al doilea.
  • Bază supraunitarăcondiție: a>1a > 1
    log⁡af(x)>log⁡ag(x)⇒f(x)>g(x)>0\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x) > 0
  • Bază subunitarăcondiție: 0<a<10 < a < 1
    log⁡af(x)>log⁡ag(x)⇒0<f(x)<g(x)\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow 0 < f(x) < g(x)
  • Logaritm față de o constantă (bază >1> 1)condiție: a>1a > 1, f(x)>0f(x) > 0
    log⁡af(x)>c⇒f(x)>ac\log_a f(x) > c \Rightarrow f(x) > a^c
  • Logaritm față de o constantă (bază <1< 1)condiție: 0<a<10 < a < 1
    log⁡af(x)>c⇒0<f(x)<ac\log_a f(x) > c \Rightarrow 0 < f(x) < a^c
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică M1, logaritmii apar cel mai des la Subiectul I problema 1 — o cerință scurtă cu proprietăți (sumă, diferență, putere) și o constantă recunoscută ($\lg 100$, $\ln e$). Pe profilul mate-info apar și în Subiectul II ca parte a unei derivate $(\ln f(x))'$ sau a unei ecuații. Dacă reții doar definiția + cele trei proprietăți fundamentale, prinzi punctaj parțial pe peste 80% din variante.

Întrebări frecvente despre formule logaritmi

Ce este logaritmul în baza aa?

Logaritmul în baza a al lui b, notat log_a b, este exponentul la care trebuie să ridici a ca să obții b. De exemplu, log_2 8 = 3 pentru că 2^3 = 8. Definiția cere a > 0, a diferit de 1 și b > 0 — fără aceste condiții expresia nu are sens.

Care sunt condițiile de existență pentru un logaritm?

Trei condiții simultan: baza pozitivă (a > 0), baza diferită de 1 (a ≠ 1) și argumentul strict pozitiv (b > 0). La BAC, prima regulă când întâlnești o ecuație logaritmică este să scrii condițiile de existență — apoi rezolvi. Soluțiile care nu respectă condițiile se elimină.

Când pot aplica formula log⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy) = \log x + \log y?

Doar când ambele argumente sunt strict pozitive (x > 0 și y > 0). Dacă x sau y poate fi negativ (de exemplu într-un produs unde semnul nu e fixat), nu poți descompune direct — trebuie întâi să studiezi semnul. Greșeala clasică e să aplici proprietatea fără să verifici domeniul.

De ce se schimbă sensul inecuației când baza e subunitară?

Pentru că funcția log_a este descrescătoare când 0 < a < 1 — adică valorile mai mari ale lui x dau logaritmi mai mici. Așa că dacă log_a f > log_a g, înseamnă că f este mai aproape de 0 decât g, deci f < g (cu f, g > 0). Când a > 1, funcția e crescătoare și sensul se păstrează.

Cum aleg baza în formula de schimbare a bazei?

Alege baza care simplifică cel mai mult calculul. Dacă lucrezi cu derivate sau integrale, alege baza e (logaritm natural). Dacă enunțul are puteri de 10, alege baza 10. Dacă toate logaritmii din expresie au aceeași bază comună, treci totul în acea bază — formula log_a b = log_c b / log_c a îți permite orice schimbare.

Care este diferența între lg⁡\lg și ln⁡\ln?

lg este logaritmul în baza 10 (logaritm zecimal), folosit istoric pentru calcule numerice. ln este logaritmul în baza e (≈ 2.718, numărul lui Euler), folosit în analiza matematică pentru că derivata lui ln x este 1/x — cea mai simplă posibilă. La BAC, ln apare în derivate și integrale, lg apare ocazional la Subiectul I.

Pe ce subiecte BAC apar logaritmii?

La M1 mate-info, logaritmii apar pe aproape fiecare variantă, fie la Subiectul I problema 1 (calcul direct cu proprietăți, gen 2lg 100 + lg 2 + lg 5), fie la Subiectul II ca parte a unei ecuații sau a unei expresii de derivat. Pe ultimii cinci ani, peste 80% din variante au cel puțin o cerință logaritmică explicită.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.