pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu aplicații ale derivatelor — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu aplicații ale derivatelor pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de aplicații ale derivatelor.

Exercițiul 1

Funcția f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x este crescătoare pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,−1)(-\infty, -1)
  3. C. (−1,+∞)(-1, +\infty)
  4. D. (0,+∞)(0, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (−1,+∞)(-1, +\infty)

f′(x)=2x+2>0⇔x>−1f'(x) = 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -1. Deci ff este crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty).

Exercițiul 2

Poziția unei particule este x(t)=t3−6t2+9tx(t) = t^3 - 6t^2 + 9t (în metri, tt în secunde). Viteza la t=2t = 2 este:
  1. A. −3-3 m/s
  2. B. 00 m/s
  3. C. 33 m/s
  4. D. 99 m/s
Rezolvare

Răspuns corect: A. −3-3 m/s

v(t)=3t2−12t+9v(t) = 3t^2 - 12t + 9. La t=2t = 2: v=12−24+9=−3v = 12 - 24 + 9 = -3 m/s (particula se mișcă înapoi).

Exercițiul 3

Pentru aceeași poziție x(t)=t3−6t2+9tx(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, accelerația la t=1t = 1 este:
  1. A. −6-6 m/s²
  2. B. 00 m/s²
  3. C. 66 m/s²
  4. D. 99 m/s²
Rezolvare

Răspuns corect: A. −6-6 m/s²

a(t)=x′′(t)=6t−12a(t) = x''(t) = 6t - 12. La t=1t = 1: a=−6a = -6 m/s².

Exercițiul 4

Funcția f(x)=x3f(x) = x^3 este concavă pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,0)(-\infty, 0)
  3. C. (0,+∞)(0, +\infty)
  4. D. niciunde
Rezolvare

Răspuns corect: B. (−∞,0)(-\infty, 0)

f′′(x)=6xf''(x) = 6x. f′′<0⇔x<0f'' < 0 \Leftrightarrow x < 0. Deci ff este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0).

Exercițiul 5

Funcția f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 este descrescătoare pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,0)(-\infty, 0)
  3. C. (0,2)(0, 2)
  4. D. (2,+∞)(2, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (0,2)(0, 2)

f′(x)<0⇔0<x<2f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2. Deci ff este descrescătoare pe (0,2)(0, 2). (Crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (2,+∞)(2, +\infty).)

Exercițiul 6

Dintre dreptunghiurile cu perimetrul 2020, cel cu aria maximă are dimensiunile:
  1. A. 4×64 \times 6
  2. B. 3×73 \times 7
  3. C. 5×55 \times 5
  4. D. 2×82 \times 8
Rezolvare

Răspuns corect: C. 5×55 \times 5

A(x)=10x−x2A(x) = 10x - x^2. A′(x)=10−2x=0⇒x=5A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5. Dreptunghiul cu arie maximă este pătratul 5×55 \times 5, cu aria 2525.
Încă 4 exerciții cu aplicații ale derivatelor în aplicațieProbleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — nu pentru al manualului.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a