pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu aplicații ale derivatelor — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu aplicații ale derivatelor pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de aplicații ale derivatelor.

Exercițiul 1

Funcția f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x este crescătoare pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,−1)(-\infty, -1)
  3. C. (−1,+∞)(-1, +\infty)
  4. D. (0,+∞)(0, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (−1,+∞)(-1, +\infty)

f′(x)=2x+2>0⇔x>−1f'(x) = 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -1. Deci ff este crescătoare pe (−1,+∞)(-1, +\infty).

Exercițiul 2

Poziția unei particule este x(t)=t3−6t2+9tx(t) = t^3 - 6t^2 + 9t (în metri, tt în secunde). Viteza la t=2t = 2 este:
  1. A. −3-3 m/s
  2. B. 00 m/s
  3. C. 33 m/s
  4. D. 99 m/s
Rezolvare

Răspuns corect: A. −3-3 m/s

v(t)=3t2−12t+9v(t) = 3t^2 - 12t + 9. La t=2t = 2: v=12−24+9=−3v = 12 - 24 + 9 = -3 m/s (particula se mișcă înapoi).

Exercițiul 3

Pentru aceeași poziție x(t)=t3−6t2+9tx(t) = t^3 - 6t^2 + 9t, accelerația la t=1t = 1 este:
  1. A. −6-6 m/s²
  2. B. 00 m/s²
  3. C. 66 m/s²
  4. D. 99 m/s²
Rezolvare

Răspuns corect: A. −6-6 m/s²

a(t)=x′′(t)=6t−12a(t) = x''(t) = 6t - 12. La t=1t = 1: a=−6a = -6 m/s².

Exercițiul 4

Funcția f(x)=x3f(x) = x^3 este concavă pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,0)(-\infty, 0)
  3. C. (0,+∞)(0, +\infty)
  4. D. niciunde
Rezolvare

Răspuns corect: B. (−∞,0)(-\infty, 0)

f′′(x)=6xf''(x) = 6x. f′′<0⇔x<0f'' < 0 \Leftrightarrow x < 0. Deci ff este concavă pe (−∞,0)(-\infty, 0).

Exercițiul 5

Funcția f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2 este descrescătoare pe:
  1. A. R\mathbb{R}
  2. B. (−∞,0)(-\infty, 0)
  3. C. (0,2)(0, 2)
  4. D. (2,+∞)(2, +\infty)
Rezolvare

Răspuns corect: C. (0,2)(0, 2)

f′(x)<0⇔0<x<2f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2. Deci ff este descrescătoare pe (0,2)(0, 2). (Crescătoare pe (−∞,0)(-\infty, 0) și (2,+∞)(2, +\infty).)

Exercițiul 6

Dintre dreptunghiurile cu perimetrul 2020, cel cu aria maximă are dimensiunile:
  1. A. 4×64 \times 6
  2. B. 3×73 \times 7
  3. C. 5×55 \times 5
  4. D. 2×82 \times 8
Rezolvare

Răspuns corect: C. 5×55 \times 5

A(x)=10x−x2A(x) = 10x - x^2. A′(x)=10−2x=0⇒x=5A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5. Dreptunghiul cu arie maximă este pătratul 5×55 \times 5, cu aria 2525.
Încă 4 exerciții cu aplicații ale derivatelor în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a