PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Analiză matematică · BAC M1

Formule derivate — tabel complet cu reguli și aplicații

Tabelul de derivate îți dă derivata fiecărei funcții elementare (putere, exponențială, logaritm, sin/cos/tg, arcsin/arccos/arctg), regulile de derivare (sumă, produs, cât, compusă) și formulele pentru aplicații concrete: ecuația tangentei la grafic, semnul derivatei pentru monotonie și punctele critice pentru optim. La BAC mate-info, derivatele sunt în Subiectul II problema 2 pe fiecare variantă din ultimii cinci ani.

Descarcă tabelul

Tabel derivate (PDF)

Tabel derivate — funcții elementare

Cele 14 derivate care acoperă tot ce-ți cere BAC-ul. Domeniul de validitate apare doar acolo unde el restrânge derivata (la 1/x1/x, ln⁡\ln, arcsin⁡\arcsin etc.).
  • Constantăcondiție: c∈Rc \in \mathbb{R}
    (c)′=0(c)' = 0
  • Funcția identitate
    (x)′=1(x)' = 1
  • Puterecondiție: n∈Rn \in \mathbb{R}, x>0x > 0 pentru nn neîntreg
    (xn)′=n⋅xn−1(x^n)' = n \cdot x^{n-1}
  • Radical de ordin 2condiție: x>0x > 0
    (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}
  • Funcția 1/x1/xcondiție: x≠0x \neq 0
    (1x)′=−1x2\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}
  • Exponențiala naturală
    (ex)′=ex(e^x)' = e^x
  • Exponențiala generalăcondiție: a>0a > 0, a≠1a \neq 1
    (ax)′=ax⋅ln⁡a(a^x)' = a^x \cdot \ln a
  • Logaritm naturalcondiție: x>0x > 0
    (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
  • Logaritm în bază aacondiție: x>0x > 0, a>0a > 0, a≠1a \neq 1
    (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}
  • Sinus
    (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x
  • Cosinus
    (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x
  • Tangentăcondiție: x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
    (tg⁡x)′=1cos⁡2x(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}
  • Cotangentăcondiție: x≠kπx \neq k\pi
    (ctg⁡x)′=−1sin⁡2x(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}
  • Arcsinuscondiție: x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
    (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  • Arccosinuscondiție: x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
    (arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
  • Arctangentă
    (arctg⁡x)′=11+x2(\arctg x)' = \frac{1}{1 + x^2}

Reguli de derivare

Patru reguli care acoperă tot ce poți compune din funcțiile elementare de mai sus. Le memorezi într-o singură seară.
  • Suma și diferența
    (f+g)′(x)=f′(x)+g′(x),(f−g)′(x)=f′(x)−g′(x)(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x),\quad (f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)
  • Înmulțirea cu o constantăcondiție: c∈Rc \in \mathbb{R}
    (c⋅f)′(x)=c⋅f′(x)(c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x)
  • Produsul (regula lui Leibniz)
    (f⋅g)′(x)=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x)(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
  • Câtulcondiție: g(x)≠0g(x) \neq 0
    (fg)′(x)=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}

Derivata funcției compuse (chain rule)

Singura regulă care permite derivarea funcțiilor de tipul sin⁡(2x+1)\sin(2x+1), ex2e^{x^2}, ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1). La BAC apare în 100% din studiile de funcție.
  • Forma generală
    (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)\bigl(f \circ g\bigr)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)
  • Putere compusă
    ((g(x))n)′=n(g(x))n−1⋅g′(x)\bigl(\bigl(g(x)\bigr)^n\bigr)' = n \bigl(g(x)\bigr)^{n-1} \cdot g'(x)
  • Exponențială compusă
    (eg(x))′=eg(x)⋅g′(x)\bigl(e^{g(x)}\bigr)' = e^{g(x)} \cdot g'(x)
  • Logaritm compuscondiție: g(x)>0g(x) > 0
    (ln⁡g(x))′=g′(x)g(x)\bigl(\ln g(x)\bigr)' = \frac{g'(x)}{g(x)}
  • Sinus compus
    (sin⁡g(x))′=cos⁡g(x)⋅g′(x)\bigl(\sin g(x)\bigr)' = \cos g(x) \cdot g'(x)
  • Cosinus compus
    (cos⁡g(x))′=−sin⁡g(x)⋅g′(x)\bigl(\cos g(x)\bigr)' = -\sin g(x) \cdot g'(x)
  • Radical compuscondiție: g(x)>0g(x) > 0
    (g(x))′=g′(x)2g(x)\bigl(\sqrt{g(x)}\bigr)' = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

Derivate de ordin superior

Derivata a doua îți spune concavitatea graficului și apare la BAC în întrebările despre puncte de inflexiune. Derivata a nn-a apare în recurențe Taylor (foarte rare în programa actuală).
  • Derivata a doua
    f′′(x)=(f′(x))′f''(x) = \bigl(f'(x)\bigr)'
  • Derivata de ordin nn
    f(n)(x)=(f(n−1)(x))′f^{(n)}(x) = \bigl(f^{(n-1)}(x)\bigr)'
  • Derivatele exponențialeicondiție: n∈Nn \in \mathbb{N}
    (ex)(n)=ex\bigl(e^x\bigr)^{(n)} = e^x
  • Derivatele sinusului
    (sin⁡x)(n)=sin⁡ ⁣(x+n⋅π2)\bigl(\sin x\bigr)^{(n)} = \sin\!\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)
  • Derivatele cosinusului
    (cos⁡x)(n)=cos⁡ ⁣(x+n⋅π2)\bigl(\cos x\bigr)^{(n)} = \cos\!\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)
  • Formula lui Leibniz pentru produs
    (fg)(n)(x)=∑k=0n(nk)f(k)(x)g(n−k)(x)\bigl(f g\bigr)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n-k)}(x)

Aplicații la BAC — tangentă, monotonie, optim

Cele patru aplicații care apar literal în fiecare studiu de funcție din Subiectul II.
  • Ecuația tangentei la grafic în x0x_0condiție: ff derivabilă în x0x_0
    y−f(x0)=f′(x0)⋅(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)
  • Monotonie (criteriul derivatei)condiție: egalitatea într-un număr finit de puncte e admisă
    f′(x)≥0 pe I  ⇒  f cresca˘toare pe If'(x) \geq 0 \text{ pe } I \;\Rightarrow\; f \text{ crescătoare pe } I
  • Puncte critice și extreme
    f′(x0)=0,f′′(x0)>0  ⇒  x0 punct de minim localf'(x_0) = 0,\quad f''(x_0) > 0 \;\Rightarrow\; x_0 \text{ punct de minim local}
  • Concavitate și puncte de inflexiunecondiție: f′′(x0)=0f''(x_0) = 0 + schimbare de semn ⇒ punct de inflexiune
    f′′(x)>0 pe I  ⇒  f convexa˘ pe If''(x) > 0 \text{ pe } I \;\Rightarrow\; f \text{ convexă pe } I
  • Asimptotă oblică y=mx+ny = mx + ncondiție: ambele limite să fie finite
    m=lim⁡x→±∞f(x)x,n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x},\quad n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - m x\bigr)
  • Regula lui l'Hôpitalcondiție: cazuri 00\frac{0}{0} sau ∞∞\frac{\infty}{\infty}, limita din dreapta există
    lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

La BAC matematică mate-info, derivatele sunt în Subiectul II problema 2 pe absolut fiecare variantă din ultimii cinci ani — fără excepție. Cerințele standard: calculul derivatei pe domeniul de definiție, studiul semnului derivatei și tabelul de variație, identificarea unui punct de extrem sau scrierea ecuației tangentei într-un punct dat. Dacă rezolvi corect derivata și semnul ei, iei mai mult de jumătate din punctaj la problema 2.

Întrebări frecvente despre formule derivate

Care formule de derivate sunt obligatorii la BAC mate-info?

Tabelul cu derivatele funcțiilor elementare (putere, exponențială, logaritm, sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg), cele patru reguli (sumă, produs, cât, compusă) și aplicațiile la tangentă, monotonie și extreme. Pe ultimii cinci ani de mate-info, fiecare variantă conține un studiu de funcție în Subiectul II problema 2 care testează derivata, semnul ei, monotonia și de obicei un punct de extrem sau o asimptotă.

Când folosesc regula produsului și când regula compusei?

Regula produsului când ai două funcții înmulțite, scrise una lângă alta — de exemplu x · ln x, sau e^x · sin x. Regula compusei (chain rule) când ai o funcție în interiorul alteia — de exemplu sin(2x+1) (sinusul aplicat lui 2x+1), sau e^(x²) (exponențiala aplicată lui x²). Distingerea e simplă: produs înseamnă ”înmulțire”, compusă înseamnă ”funcție de funcție”.

Cum scriu ecuația tangentei la graficul unei funcții?

Calculezi mai întâi valoarea f(x₀) (punctul de tangență) și f'(x₀) (panta tangentei). Apoi aplici formula y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀). Dacă f'(x₀) = 0, tangenta este orizontală: y = f(x₀). Dacă funcția nu e derivabilă în x₀ (semitangente diferite), nu există o singură tangentă — la BAC apare ca cerință de identificare de puncte unghiulare sau de întoarcere.

Ce înseamnă că f'(x) > 0 implică f crescătoare?

Pe orice interval pe care derivata e strict pozitivă, valorile funcției cresc strict — dacă x₁ < x₂ pe acel interval, atunci f(x₁) < f(x₂). Reciproca nu e completă: o funcție poate fi crescătoare cu derivata zero în puncte izolate (exemplu: f(x) = x³ are f'(0) = 0 dar e crescătoare pe tot ℝ). La BAC, criteriul cu egalitate într-un număr finit de puncte e cel acceptat.

Cum găsesc punctele de minim și maxim folosind derivata?

Rezolvi întâi ecuația f'(x) = 0 — soluțiile sunt punctele critice. Apoi studiezi semnul derivatei pe un tabel de variație: dacă f' trece de la − la + în x₀, ai minim local; dacă trece de la + la −, ai maxim local. Alternativ, folosești derivata a doua: f''(x₀) > 0 înseamnă minim, f''(x₀) < 0 înseamnă maxim. Pentru extremele globale verifici și capetele intervalului și limitele la infinit.

Există funcții care nu sunt derivabile peste tot?

Da. Funcția modul f(x) = |x| nu este derivabilă în 0 — are derivate laterale diferite (−1 la stânga, +1 la dreapta) și un punct unghiular. Funcția f(x) = ∛x are tangentă verticală în 0 — derivata este +∞. Funcțiile cu salt (discontinue) nu sunt derivabile în punctul de salt. La BAC, aceste excepții apar ca cerințe de tip ”studiați derivabilitatea în punctul x₀” și răspunzi calculând f'_s(x₀) și f'_d(x₀).

De ce derivata constantei este zero?

Pentru că derivata măsoară rata de variație, iar o constantă nu variază. Mai formal, prin definiția cu limită: f'(x₀) = lim_{h→0} (f(x₀+h) − f(x₀))/h. Pentru f(x) = c constantă, f(x₀+h) − f(x₀) = c − c = 0 pentru orice h, deci limita este 0. Aceeași logică explică (cf(x))' = c·f'(x): factorul constant ”iese în față” pentru că nu participă la variație.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.