pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu derivate — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 11 exerciții rezolvate cu derivate pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de derivate.

Exercițiul 1

Fie f(x)=1x73+ln⁡x103f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^7}}+\ln\sqrt[3]{x^{10}}. Aflați f(1)+f′(1)f(1)+f'(1).
  1. A. −173-\dfrac{17}{3}
  2. B. 310\dfrac{3}{10}
  3. C. 1
  4. D. 2
  5. E. 103\dfrac{10}{3}
  6. F. 0
Rezolvare

Răspuns corect: D. 2

f(x)=x−7/3+103ln⁡xf(x)=x^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln x. f(1)=1−7/3+103ln⁡1=1+0=1f(1)=1^{-7/3}+\dfrac{10}{3}\ln 1=1+0=1. f′(x)=−73x−10/3+103xf'(x)=-\dfrac{7}{3}x^{-10/3}+\dfrac{10}{3x}, deci f′(1)=−73+103=1f'(1)=-\dfrac{7}{3}+\dfrac{10}{3}=1. Așadar f(1)+f′(1)=1+1=2f(1)+f'(1)=1+1=2.

Exercițiul 2

Valoarea limitei lim⁡x→2x2−4x−2\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} este:
  1. A. 00
  2. B. 22
  3. C. 44
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

Limita are forma nedeterminată 00\frac{0}{0}. Factorizăm numărătorul: x2−4x−2=(x−2)(x+2)x−2=x+2\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = x + 2 Deci limita este 2+2=42 + 2 = 4. (Echivalent: este f′(2)f'(2) pentru f(x)=x2f(x)=x^2, iar f′(x)=2xf'(x)=2x.)

Exercițiul 3

Pentru f(x)=x3f(x) = x^3, valoarea limitei lim⁡h→0(3+h)3−27h\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^3 - 27}{h} este:
  1. A. 33
  2. B. 99
  3. C. 1818
  4. D. 2727
Rezolvare

Răspuns corect: D. 2727

Limita este, prin definiție, f′(3)f'(3) pentru f(x)=x3f(x) = x^3. Cum f′(x)=3x2f'(x) = 3x^2, obținem: f′(3)=3⋅32=27f'(3) = 3 \cdot 3^2 = 27 (Distractorul 99 apare dacă se folosește din greșeală x2x^2 în loc de 3x23x^2.)

Exercițiul 4

Fie f(x)=(x2+1)(x−3)f(x) = (x^2 + 1)(x - 3). Atunci f′(2)f'(2) este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. −2-2
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: A. 11

Cu u=x2+1u = x^2+1 și v=x−3v = x-3 avem u′=2xu' = 2x, v′=1v' = 1: f′(x)=2x(x−3)+(x2+1)⋅1=3x2−6x+1f'(x) = 2x(x-3) + (x^2+1)\cdot 1 = 3x^2 - 6x + 1 La x=2x = 2: f′(2)=12−12+1=1f'(2) = 12 - 12 + 1 = 1. (Distractorul 44 provine din eroarea (uv)′=u′v′=2x⋅1(uv)' = u'v' = 2x \cdot 1 la x=2x=2.)

Exercițiul 5

Fie f(x)=xx+1\displaystyle f(x) = \frac{x}{x + 1}. Atunci f′(1)f'(1) este egal cu:
  1. A. −14-\dfrac{1}{4}
  2. B. 11
  3. C. 14\dfrac{1}{4}
  4. D. 12\dfrac{1}{2}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 14\dfrac{1}{4}

Cu u=xu = x, v=x+1v = x+1, u′=1u' = 1, v′=1v' = 1: f′(x)=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2f'(x) = \frac{1\cdot(x+1) - x\cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} La x=1x = 1: f′(1)=14f'(1) = \dfrac{1}{4}. (Distractorul −14-\dfrac14 apare dacă se inversează ordinea la numărător: x−(x+1)(x+1)2\dfrac{x-(x+1)}{(x+1)^2}.)

Exercițiul 6

Fie f(x)=(2x−1)4f(x) = (2x - 1)^4. Atunci f′(1)f'(1) este egal cu:
  1. A. 11
  2. B. 44
  3. C. 88
  4. D. 1616
Rezolvare

Răspuns corect: C. 88

f′(x)=4(2x−1)3⋅(2x−1)′=4(2x−1)3⋅2=8(2x−1)3f'(x) = 4(2x-1)^3 \cdot (2x-1)' = 4(2x-1)^3 \cdot 2 = 8(2x-1)^3 La x=1x = 1: 2x−1=12x - 1 = 1, deci f′(1)=8⋅13=8f'(1) = 8 \cdot 1^3 = 8. (Distractorul 44 apare dacă se omite factorul interior 22.)
Încă 5 exerciții cu derivate în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a