pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu funcții trigonometrice inverse pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de funcții trigonometrice inverse.

Exercițiul 1

1. Calculați arcsin⁡ ⁣(32)+arccos⁡ ⁣(32)\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + \arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
  1. A. 00
  2. B. π6\dfrac{\pi}{6}
  3. C. π4\dfrac{\pi}{4}
  4. D. π3\dfrac{\pi}{3}
  5. E. π2\dfrac{\pi}{2}
  6. F. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: E. π2\dfrac{\pi}{2}

Conform identității complementare, arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} pentru orice x∈[−1,1]x \in [-1, 1]. Cu x=3/2x = \sqrt{3}/2, suma este π2\dfrac{\pi}{2}.

Exercițiul 2

2. Calculați arctg⁡(1)+arctg⁡(3)\arctg(1) + \arctg(\sqrt{3}).
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. 7π12\dfrac{7\pi}{12}
  5. E. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  6. F. 3π4\dfrac{3\pi}{4}
Rezolvare

Răspuns corect: D. 7π12\dfrac{7\pi}{12}

arctg⁡(1)=π4\arctg(1) = \dfrac{\pi}{4} și arctg⁡(3)=π3\arctg(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{3}. Suma este π4+π3=3π12+4π12=7π12\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{12} + \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{7\pi}{12}.

Exercițiul 3

3. Calculați arccos⁡ ⁣(sin⁡2π3)\arccos\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right).
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
  5. E. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  6. F. 5π6\dfrac{5\pi}{6}
Rezolvare

Răspuns corect: A. π6\dfrac{\pi}{6}

sin⁡ ⁣(2π3)=sin⁡ ⁣(π−π3)=sin⁡ ⁣(π3)=32\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Deci arccos⁡ ⁣(32)=π6\arccos\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{\pi}{6}.

Exercițiul 4

4. Calculați arctg⁡ ⁣(13)+arcctg⁡(3)\arctg\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arcctg(\sqrt{3}).
  1. A. π6\dfrac{\pi}{6}
  2. B. π4\dfrac{\pi}{4}
  3. C. π3\dfrac{\pi}{3}
  4. D. π2\dfrac{\pi}{2}
  5. E. 2π3\dfrac{2\pi}{3}
  6. F. π\pi
Rezolvare

Răspuns corect: C. π3\dfrac{\pi}{3}

Deoarece tg⁡ ⁣(π6)=13\tg\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, avem arctg⁡ ⁣(13)=π6\arctg\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \dfrac{\pi}{6}. Analog, deoarece ctg⁡ ⁣(π6)=3\ctg\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}, avem arcctg⁡(3)=π6\arcctg(\sqrt{3}) = \dfrac{\pi}{6}. Suma: π6+π6=π3.\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}.

Exercițiul 5

5. Domeniul de definiție al funcției f(x)=arcsin⁡(2x−1)f(x) = \arcsin(2x - 1) este intervalul:
  1. A. [−2,0][-2, 0]
  2. B. [−1,1][-1, 1]
  3. C. [0,1][0, 1]
  4. D. [−12,12]\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]
  5. E. [12,32]\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]
  6. F. R\mathbb{R}
Rezolvare

Răspuns corect: C. [0,1][0, 1]

Condiția de existență: −1≤2x−1≤1-1 \leq 2x - 1 \leq 1. Adăugăm 11: 0≤2x≤20 \leq 2x \leq 2. Împărțim la 22: 0≤x≤10 \leq x \leq 1. Deci domeniul este [0,1][0, 1].

Exercițiul 6

6. Determinați x∈[−1,1]x \in [-1, 1] astfel încât arcsin⁡x=2arccos⁡x\arcsin x = 2\arccos x.
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 23\dfrac{2}{3}
  4. D. π3\dfrac{\pi}{3}
  5. E. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  6. F. 11
Rezolvare

Răspuns corect: E. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

Din identitatea complementară arccos⁡x=π2−arcsin⁡x\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x, ecuația arcsin⁡x=2arccos⁡x\arcsin x = 2\arccos x devine: arcsin⁡x=2 ⁣(π2−arcsin⁡x)=π−2arcsin⁡x  ⟹  3arcsin⁡x=π  ⟹  arcsin⁡x=π3.\arcsin x = 2\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \arcsin x\right) = \pi - 2\arcsin x \implies 3\arcsin x = \pi \implies \arcsin x = \dfrac{\pi}{3}. Prin urmare x=sin⁡ ⁣(π3)=32x = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Încă 4 exerciții cu funcții trigonometrice inverse în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a