Algebră · BAC M1

Tabel trigonometric — toate formulele pentru BAC

Tabelul trigonometric îți dă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile remarcabile (0, π/6, π/4, π/3, π/2 și restul cadranului), plus identitățile fundamentale (sin²x + cos²x = 1), formulele pentru sin/cos/tg de sumă și diferență, formulele pentru unghi dublu și jumătate și transformările sumă ↔ produs. Tot ce-ți cere BAC-ul la Subiectul I și ecuațiile trigonometrice de pe parcurs.

Descarcă tabelul

Tabel tabel trigonometric (PDF)

Tabel cu valorile unghiurilor remarcabile

Cele cinci unghiuri de bază pe care le memorezi o singură dată. Restul cadranului se deduce prin reducere la primul cadran (formulele de mai jos) sau prin formulele de unghi suplimentar.

Sinus: $\sin 0, \sin \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{4}, \sin \frac{\pi}{3}, \sin \frac{\pi}{2}$
$\sin 0 = 0,\quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},\quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$
Cosinus: $\cos 0, \cos \frac{\pi}{6}, \cos \frac{\pi}{4}, \cos \frac{\pi}{3}, \cos \frac{\pi}{2}$
$\cos 0 = 1,\quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\quad \cos \frac{\pi}{2} = 0$
Tangentă: $\tg 0, \tg \frac{\pi}{6}, \tg \frac{\pi}{4}, \tg \frac{\pi}{3}$ condiție: $\tg \frac{\pi}{2}$ nu este definit
$\tg 0 = 0,\quad \tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3},\quad \tg \frac{\pi}{4} = 1,\quad \tg \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
Cotangentă: $\ctg \frac{\pi}{6}, \ctg \frac{\pi}{4}, \ctg \frac{\pi}{3}, \ctg \frac{\pi}{2}$ condiție: $\ctg 0$ nu este definit
$\ctg \frac{\pi}{6} = \sqrt{3},\quad \ctg \frac{\pi}{4} = 1,\quad \ctg \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3},\quad \ctg \frac{\pi}{2} = 0$
Reducere la primul cadran
$\sin(\pi - x) = \sin x,\quad \cos(\pi - x) = -\cos x,\quad \sin(-x) = -\sin x,\quad \cos(-x) = \cos x$
Unghi complementar (90° − x)
$\sin\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x,\quad \cos\!\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

Identități trigonometrice fundamentale

Singurele identități pe care trebuie să le ții minte literă cu literă. Restul se deduc.

Identitatea fundamentală (Pitagora)
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
Definiția tangentei și cotangenteicondiție: domeniul de definiție corespunzător
$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x},\quad \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$
Produsul tangentă · cotangentă
$\tg x \cdot \ctg x = 1$
1 + tg²xcondiție: $\cos x \neq 0$
$1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$
1 + ctg²xcondiție: $\sin x \neq 0$
$1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$
Periodicitatea funcțiilorcondiție: $k \in \mathbb{Z}$
$\sin(x + 2k\pi) = \sin x,\quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x,\quad \tg(x + k\pi) = \tg x$

Formule pentru sumă și diferență de unghiuri

Cele șase formule care apar cel mai des în baremele BAC — toate decurg din formula sinusului sumei.

Sinus de sumă
$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
Sinus de diferență
$\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$
Cosinus de sumă
$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
Cosinus de diferență
$\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
Tangentă de sumăcondiție: $\cos a, \cos b, \cos(a+b) \neq 0$
$\tg(a + b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a \tg b}$
Tangentă de diferențăcondiție: $\cos a, \cos b, \cos(a-b) \neq 0$
$\tg(a - b) = \frac{\tg a - \tg b}{1 + \tg a \tg b}$

Formule pentru unghi dublu și jumătate

Cazul particular al formulelor de sumă când

b = a

. Le verifici imediat dacă uiți, dar le memorezi pentru viteza din Subiectul I.

Sinus de unghi dublu
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
Cosinus de unghi dublu (trei forme echivalente)
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
Tangentă de unghi dublucondiție: $\tg x \neq \pm 1$
$\tg 2x = \frac{2 \tg x}{1 - \tg^2 x}$
Sinus de unghi jumătatecondiție: semnul depinde de cadran
$\sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$
Cosinus de unghi jumătatecondiție: semnul depinde de cadran
$\cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$
Liniarizarea lui $\sin^2 x$
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$
Liniarizarea lui $\cos^2 x$
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Transformări sumă ↔ produs

Foarte utile pentru ecuații trigonometrice care nu se rezolvă direct și pentru simplificări la Subiectul I.

$\sin a + \sin b$
$\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
$\sin a - \sin b$
$\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
$\cos a + \cos b$
$\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}$
$\cos a - \cos b$
$\cos a - \cos b = -2 \sin \frac{a+b}{2} \sin \frac{a-b}{2}$
$\sin a \cos b$
$\sin a \cos b = \tfrac{1}{2} \bigl[\sin(a + b) + \sin(a - b)\bigr]$
$\cos a \cos b$
$\cos a \cos b = \tfrac{1}{2} \bigl[\cos(a - b) + \cos(a + b)\bigr]$
$\sin a \sin b$
$\sin a \sin b = \tfrac{1}{2} \bigl[\cos(a - b) - \cos(a + b)\bigr]$

Ecuații trigonometrice fundamentale

Cele patru ecuații-cadru. Orice ecuație trigonometrică de BAC se reduce, prin substituție sau transformare, la una dintre formele de mai jos.

$\sin x = a$ , $a \in [-1, 1]$
$x \in \{(-1)^k \arcsin a + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
$\cos x = a$ , $a \in [-1, 1]$
$x \in \{\pm \arccos a + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
$\tg x = a$ , $a \in \mathbb{R}$
$x \in \{\arctg a + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
$\ctg x = a$ , $a \in \mathbb{R}$
$x \in \{\arcctg a + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}$
Ecuație omogenă $a \sin x + b \cos x = c$ condiție: $a \neq 0$ ; se reduce la $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi),\quad \tg \varphi = \frac{b}{a}$

Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

La BAC matematică mate-info, trigonometria apare aproape exclusiv la Subiectul I (5 puncte pe item) — evaluarea unei expresii cu valori remarcabile, simplificarea unei expresii folosind identități fundamentale sau formula sumei, ori rezolvarea unei ecuații trigonometrice elementare. Pe ultimii patru ani, fiecare variantă mate-info de vară a inclus cel puțin un item trigonometric în Subiectul I.

Întrebări frecvente despre tabel trigonometric

Care e diferența dintre tabelul trigonometric și cercul trigonometric?

Tabelul trigonometric îți dă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile remarcabile — un instrument de căutare rapidă pentru calcul. Cercul trigonometric este reprezentarea geometrică din care provin toate aceste valori: un cerc cu raza 1 în care fiecare unghi x corespunde unui punct cu coordonatele (cos x, sin x). Cercul îți explică semnele pe cadrane, periodicitatea și formulele de reducere, iar tabelul îți dă cifrele finale.

Cum reduc un unghi mai mare de 360° la cadranul întâi?

Întâi scazi multipli întregi de 2π (sau 360°) ca să ajungi în intervalul [0, 2π). Apoi aplici formulele de reducere la primul cadran în funcție de cadranul în care a ajuns unghiul: pentru cadranul II folosești sin(π − x) = sin x și cos(π − x) = −cos x, pentru cadranul III sin(π + x) = −sin x și cos(π + x) = −cos x, pentru cadranul IV sin(2π − x) = −sin x și cos(2π − x) = cos x. La final ai un unghi din [0, π/2] și valorile-le citești din tabel.

De ce există trei forme echivalente pentru cos(2x)?

Pentru că folosim identitatea fundamentală sin²x + cos²x = 1 ca să eliminăm fie sin²x, fie cos²x. Forma cos²x − sin²x este cea naturală — derivă direct din formula cos(a+b). Înlocuind sin²x = 1 − cos²x obținem 2cos²x − 1, iar înlocuind cos²x = 1 − sin²x obținem 1 − 2sin²x. Alegi forma care îți simplifică cel mai mult problema — la liniarizare folosești ultimele două, la derivare de obicei prima.

Cum rezolv o ecuație de tipul a·sin x + b·cos x = c?

O transformi într-o singură funcție trigonometrică folosind formula a·sin x + b·cos x = √(a²+b²) · sin(x + φ), unde tg φ = b/a. Ecuația devine sin(x + φ) = c / √(a²+b²) — o ecuație cu sinus, pe care o rezolvi cu formula standard. Există soluții doar dacă |c| ≤ √(a²+b²), altfel ecuația nu are nicio soluție.

Care identități trigonometrice sunt obligatorii la BAC mate-info?

Sin²x + cos²x = 1, tg x = sin x / cos x, formulele pentru sin(a±b), cos(a±b), tg(a±b), formulele pentru unghi dublu — în special sin(2x) = 2sin x cos x și cele trei forme pentru cos(2x) — și tabelul de valori pentru π/6, π/4, π/3. Transformările sumă ↔ produs apar mai rar, dar la Subiectul I al simulărilor sunt favorita examinatorilor. Restul (unghi triplu, formule Mollweide) sunt extra.

De ce apare $(-1)^k$ în soluția ecuației sin x = a?

Pentru că soluțiile ecuației sin x = a se grupează în două șiruri: x = arcsin a + 2kπ (cadranul I sau IV) și x = π − arcsin a + 2kπ (cadranul II sau III). Formula compactă (−1)^k · arcsin a + kπ unifică cele două șiruri: pentru k par dă primul șir, pentru k impar dă al doilea. La cosinus formula este mai simplă (±arccos a + 2kπ) pentru că funcția este pară.

Există formule pentru sin(3x) și cos(3x)?

Da: sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x și cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x. Se deduc aplicând formula sumei la sin(2x + x) și apoi formulele de unghi dublu. Nu sunt în memorator-ul BAC mate-info standard — dacă apar într-o problemă, examinatorul îți cere de obicei să le și demonstrezi. Le ții minte ca exemplu de cum se compun formulele, nu ca formule de memorat.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.