pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu limite de funcții — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu limite de funcții pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de limite de funcții.

Exercițiul 1

Limita lim⁡x→2(x2+3x−1)\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) este egală cu:
  1. A. 11
  2. B. 55
  3. C. 99
  4. D. 1111
Rezolvare

Răspuns corect: C. 99

Pentru polinoame, substituim direct: 4+6−1=94 + 6 - 1 = 9.

Exercițiul 2

Limita remarcabilă lim⁡x→0sin⁡xx\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1.

Exercițiul 3

Limita lim⁡x→01−cos⁡xx2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

1−cos⁡xx2=2sin⁡2(x/2)x2=12⋅ ⁣(sin⁡(x/2)x/2)2→12\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \!\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}.

Exercițiul 4

Limita lim⁡x→0ex−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ee
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1.

Exercițiul 5

Limita lim⁡x→1x3−3x+2x−1\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} este egală cu (aplicând Bézout / factorizare):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

x3−3x+2=(x−1)(x2+x−2)=(x−1)(x−1)(x+2)=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2). Deci (x−1)2(x+2)x−1=(x−1)(x+2)→0\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x - 1} = (x - 1)(x + 2) \to 0 când x→1x \to 1.

Exercițiul 6

Limita lim⁡x→0(1+x)r−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^r - 1}{x} este egală cu (pentru r∈Rr \in \mathbb{R}):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. rr
  4. D. r+1r + 1
Rezolvare

Răspuns corect: C. rr

lim⁡x→0(1+x)r−1x=r\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^r - 1}{x} = r. (Aceasta generalizează derivata binomială în zero.)
Încă 4 exerciții cu limite de funcții în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a