pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Un set de probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, de la clasa a 5-a până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână, fără reclame.

Ești profesor?

Clasa a 11-a

Exerciții rezolvate cu limite de funcții — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu limite de funcții pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de limite de funcții.

Exercițiul 1

Limita lim⁡x→2(x2+3x−1)\displaystyle\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) este egală cu:
  1. A. 11
  2. B. 55
  3. C. 99
  4. D. 1111
Rezolvare

Răspuns corect: C. 99

Pentru polinoame, substituim direct: 4+6−1=94 + 6 - 1 = 9.

Exercițiul 2

Limita remarcabilă lim⁡x→0sin⁡xx\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. π2\dfrac{\pi}{2}
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0sin⁡xx=1\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1.

Exercițiul 3

Limita lim⁡x→01−cos⁡xx2\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. 11
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 12\dfrac{1}{2}

1−cos⁡xx2=2sin⁡2(x/2)x2=12⋅ ⁣(sin⁡(x/2)x/2)2→12\dfrac{1 - \cos x}{x^2} = \dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \dfrac{1}{2} \cdot \!\left(\dfrac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \dfrac{1}{2}.

Exercițiul 4

Limita lim⁡x→0ex−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} este egală cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. ee
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

O limită remarcabilă standard: lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1.

Exercițiul 5

Limita lim⁡x→1x3−3x+2x−1\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x - 1} este egală cu (aplicând Bézout / factorizare):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 33
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

x3−3x+2=(x−1)(x2+x−2)=(x−1)(x−1)(x+2)=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2). Deci (x−1)2(x+2)x−1=(x−1)(x+2)→0\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x - 1} = (x - 1)(x + 2) \to 0 când x→1x \to 1.

Exercițiul 6

Limita lim⁡x→0(1+x)r−1x\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1 + x)^r - 1}{x} este egală cu (pentru r∈Rr \in \mathbb{R}):
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. rr
  4. D. r+1r + 1
Rezolvare

Răspuns corect: C. rr

lim⁡x→0(1+x)r−1x=r\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^r - 1}{x} = r. (Aceasta generalizează derivata binomială în zero.)
Încă 4 exerciții cu limite de funcții în aplicațieProbleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — nu pentru al manualului.

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 11-a