Analiză matematică · BAC M1

Limite remarcabile — tabel complet pentru BAC

Limitele remarcabile sunt cele opt expresii pe care le memorezi o singură dată și le aplici pe restul vieții (

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1

\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e

și restul). Mai jos găsești toate limitele esențiale, regulile de calcul, cele șapte tipuri de indeterminări, regula lui l'Hôpital și criteriile pentru șiruri — tot ce-ți cere Subiectul III pe profil mate-info.

Descarcă tabelul

Tabel limite remarcabile (PDF)

Limite fundamentale — funcții elementare

Limite directe care nu necesită calcule. Le aplici imediat ce recunoști forma.

Limita unei constantecondiție: $c \in \mathbb{R}$ , $a$ orice valoare
$\lim_{x \to a} c = c$
Limita funcției identitate
$\lim_{x \to a} x = a$
Limita unei puteri la infinitcondiție: $n \in \mathbb{N}^*$
$\lim_{x \to \infty} x^n = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} x^n = \begin{cases} \infty, & n \text{ par} \\ -\infty, & n \text{ impar} \end{cases}$
Limita lui $1/x$ în 0
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty, \quad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
Limita exponențialei la infinit
$\lim_{x \to \infty} e^x = \infty, \quad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
Limita logaritmului natural
$\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty, \quad \lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$

Limite remarcabile — cele opt formule de memorat

Acestea sunt limitele pe care le folosești ca pe niște piese de joc. Le recunoști imediat și le aplici direct sau prin substituție

u =

ceva pentru a aduce expresia la forma de bază.

Limita sinusului
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
Limita $1 - \cos x$
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$
Limita tangentei
$\lim_{x \to 0} \frac{\tg x}{x} = 1$
Limita arcsinus
$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
Limita exponențialei
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
Limita logaritmului
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$
Numărul $e$ ca limită
$\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e, \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$
Exponențială generalăcondiție: $a > 0$
$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
Binom Newton la limităcondiție: $k \in \mathbb{R}$
$\lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k$

Reguli de calcul

Limita comută cu operațiile elementare, atâta timp cât rezultatele individuale există (nu apar indeterminări).

Liniaritate
$\lim_{x \to a} \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr) = \alpha \lim_{x \to a} f(x) + \beta \lim_{x \to a} g(x)$
Produsul limitelorcondiție: dacă ambele limite există și sunt finite
$\lim_{x \to a} \bigl(f(x) \cdot g(x)\bigr) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$
Câtul limitelorcondiție: dacă $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$
Compunere (substituție)condiție: dacă $f$ este continuă în $\lim_{x \to a} g(x)$
$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x \to a} g(x)\bigr)$

Indeterminări și regula lui l'Hôpital

Cele șapte indeterminări de bază:

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

0 \cdot \infty

\infty - \infty

0^0

1^\infty

\infty^0

. Pentru primele două, regula l'Hôpital e cea mai rapidă. Pentru restul, transformi expresia până ajungi la

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

Regula lui l'Hôpitalcondiție: indeterminare $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ; ambele derivate există în vecinătatea lui $a$
$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$
Indeterminare $0 \cdot \infty$ condiție: transformă la $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty}{\infty}$ ca să poți aplica l'Hôpital
$f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)} \text{ sau } \frac{g(x)}{1/f(x)}$
Indeterminare $1^\infty$ condiție: reduce la indeterminarea $0 \cdot \infty$ în exponent
$f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}$
Indeterminări $0^0$ și $\infty^0$ condiție: același truc — trece la exponențială cu $\ln$
$f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \cdot \ln f(x)}$

Limite de șiruri

Șirurile sunt funcții cu domeniul

\mathbb{N}

. Toate regulile pentru funcții se aplică, plus câteva criterii specifice care nu au corespondent în funcții.

Limita unui șir geometric
$\lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0, & |q| < 1 \\ 1, & q = 1 \\ \infty, & q > 1 \\ \text{nu există}, & q \leq -1 \end{cases}$
Criteriul cleștelui
$a_n \leq b_n \leq c_n \text{ și } \lim a_n = \lim c_n = L \Rightarrow \lim b_n = L$
Stolz-Cesàrocondiție: $(b_n)$ strict crescător, $b_n \to \infty$ ; limita din dreapta există
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}$
Numărul $e$ ca limită de șir
$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
Convergența șirurilor monotonecondiție: criteriul Weierstrass — utilă pentru șiruri definite recursiv
$(a_n) \text{ monoton și mărginit} \Rightarrow (a_n) \text{ convergent}$

Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, Subiectul III problema 1 este în 90% din cazuri o limită — fie de funcție în formă $\frac{0}{0}$ rezolvată cu o limită remarcabilă sau l'Hôpital, fie de șir rezolvată prin criteriul cleștelui sau Stolz-Cesàro. Apare și ocazional în Subiectul II ca parte a calculului unei derivate prin definiție. Memorează cele opt limite remarcabile și știi cum să recunoști indeterminările — ai 5–7 puncte garantate.

Întrebări frecvente despre limite remarcabile

Ce înseamnă „limită remarcabilă”?

O limită standard pe care o memorezi o dată și o aplici peste tot. Cele opt limite remarcabile sunt: sin x / x → 1, (1 - cos x) / x² → 1/2, tg x / x → 1, (e^x - 1) / x → 1, ln(1+x) / x → 1, (1+x)^(1/x) → e, (a^x - 1) / x → ln a și ((1+x)^k - 1) / x → k. Toate sunt pentru x → 0 cu excepția numărului e, care apare și pentru x → ∞.

Când pot aplica regula lui l'Hôpital?

Doar la indeterminări 0/0 sau ∞/∞, cu derivatele f' și g' definite pe o vecinătate a lui a și g'(x) ≠ 0 acolo. Dacă noua limită lim f'/g' există (finită sau infinită), atunci e egală cu limita inițială. Dacă l'Hôpital duce la o indeterminare nouă, poți aplica regula iar. Dacă nu vrei să derivezi, încearcă întâi limitele remarcabile — sunt aproape întotdeauna mai rapide.

Cum tratez indeterminarea $1^\infty$ ?

Scrii f(x)^g(x) = e^(g(x) · ln f(x)) și calculezi limita exponentului. Dacă f(x) → 1 și g(x) → ∞, atunci ln f(x) → 0 și exponentul devine o indeterminare 0·∞, pe care o transformi la 0/0 sau ∞/∞ pentru l'Hôpital. Truc rapid: dacă forma e (1 + h(x))^(1/h(x)) cu h(x) → 0, recunoști imediat numărul e.

Care este diferența între limita unei funcții și limita unui șir?

Funcțiile sunt definite pe intervale (mulțimi continue), șirurile pe N (mulțimi discrete). Pentru funcții poți spune x → a din ambele părți; pentru șiruri, n → ∞ este singura variantă naturală. Toate regulile de calcul sunt aceleași, dar șirurile au criterii proprii — criteriul cleștelui, Stolz-Cesàro, monotone+mărginit — care nu se traduc direct la funcții.

Cum recunosc o limită prin criteriul cleștelui?

Când șirul tău are o expresie greu de evaluat (de exemplu cu sin n sau funcții oscilante), încerci să-l încadrezi între două șiruri mai simple care converg la aceeași limită. De exemplu, șirul a_n = sin n / n se încadrează între -1/n și 1/n; ambele converg la 0, deci a_n → 0 prin criteriul cleștelui (sandwich).

De ce $e^x - 1 \approx x$ pentru $x$ mic?

Pentru că dezvoltarea Taylor a lui e^x în jurul lui 0 este 1 + x + x²/2 + x³/6 + … — primii doi termeni sunt 1 + x, restul sunt neglijabili pentru x mic. Așa că e^x - 1 = x + x²/2 + ... ≈ x. Aceasta e și justificarea pentru limita remarcabilă (e^x - 1)/x → 1: împărțind la x, obții 1 + x/2 + ... → 1.

Pe ce subiecte BAC apar limitele?

La M1 mate-info, prima problemă din Subiectul III este aproape întotdeauna o limită — fie de funcție (cu l'Hôpital sau limite remarcabile), fie de șir (cu Stolz-Cesàro sau cleștele). Pe ultimii cinci ani, fiecare variantă a avut cel puțin o limită explicită. Dacă reții cele opt limite remarcabile și l'Hôpital, ai garantat punctaj parțial.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.