pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu logaritmi — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu logaritmi pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de logaritmi.

Exercițiul 1

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(x−3)>2\log_2(x - 3) > 2 este:
  1. A. (7,+∞)(7, +\infty)
  2. B. [7,+∞)[7, +\infty)
  3. C. (3,+∞)(3, +\infty)
  4. D. (3,7)(3, 7)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (7,+∞)(7, +\infty)

Condiția de existență a logaritmului impune x−3>0x - 3 > 0, adică x>3x > 3. Deoarece baza 2>12 > 1, funcția logaritmică este strict crescătoare, deci inegalitatea log⁡2(x−3)>2\log_2(x - 3) > 2 este echivalentă cu x−3>22=4x - 3 > 2^2 = 4 Rezolvând: x>7x > 7 Condiția x>7x > 7 implică automat x>3x > 3, deci nu există restricții suplimentare. Mulțimea soluțiilor este: (7,+∞)(7, +\infty)

Exercițiul 2

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡1/2(3x−1)<−2\log_{1/2}(3x - 1) < -2 este:
  1. A. (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)
  2. B. (13, 53)\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{3}\right)
  3. C. (13, +∞)\left(\dfrac{1}{3},\ +\infty\right)
  4. D. (−∞, 53)\left(-\infty,\ \dfrac{5}{3}\right)
  5. E. (1, 53)\left(1,\ \dfrac{5}{3}\right)
Rezolvare

Răspuns corect: A. (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)

Domeniu: 3x−1>0⇒x>133x - 1 > 0 \Rightarrow x > \dfrac{1}{3}. Rescriem: −2=log⁡1/24-2 = \log_{1/2} 4 (deoarece (1/2)−2=4(1/2)^{-2} = 4), deci log⁡1/2(3x−1)<log⁡1/24\log_{1/2}(3x-1) < \log_{1/2} 4. Monotonie inversă (log⁡1/2\log_{1/2} descrescătoare): 3x−1>4⇒x>533x - 1 > 4 \Rightarrow x > \dfrac{5}{3}. Intersecție cu domeniul: (53,+∞)∩(13,+∞)=(53,+∞).\left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right) \cap \left(\dfrac{1}{3}, +\infty\right) = \left(\dfrac{5}{3}, +\infty\right). (53, +∞)\left(\dfrac{5}{3},\ +\infty\right)

Exercițiul 3

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(x2−2x−8)>1\log_2(x^2 - 2x - 8) > 1 este:
  1. A. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)
  2. B. (−∞,−2)∪(4,+∞)(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)
  3. C. (−2, 4)(-2,\ 4)
  4. D. (−∞,−2)∪(1+11, +∞)(-\infty, -2) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)
  5. E. (1−11, 1+11)(1-\sqrt{11},\ 1+\sqrt{11})
Rezolvare

Răspuns corect: A. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)

Domeniu: x2−2x−8>0⇒(x+2)(x−4)>0⇒D=(−∞,−2)∪(4,+∞).x^2 - 2x - 8 > 0 \Rightarrow (x+2)(x-4) > 0 \Rightarrow D = (-\infty, -2) \cup (4, +\infty). Inecuația: log⁡2(x2−2x−8)>1=log⁡22\log_2(x^2-2x-8) > 1 = \log_2 2, deci x2−2x−8>2x^2 - 2x - 8 > 2, adică x2−2x−10>0.x^2 - 2x - 10 > 0. Rădăcinile: x=1±11.x = 1 \pm \sqrt{11}. Soluția: x∈(−∞, 1−11)∪(1+11, +∞).x \in (-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty). **Intersecție cu DD:** 1−11≈−2,32<−21-\sqrt{11} \approx -2{,}32 < -2 și 1+11≈4,32>41+\sqrt{11} \approx 4{,}32 > 4, deci rezultatul stă în interiorul lui DD. (−∞, 1−11)∪(1+11, +∞)(-\infty,\ 1-\sqrt{11}) \cup (1+\sqrt{11},\ +\infty)

Exercițiul 4

Mulțimea soluțiilor inecuației lg⁡(x+1)+lg⁡(x−2)≤lg⁡4\lg(x+1) + \lg(x-2) \leq \lg 4 este:
  1. A. (2, 3](2,\ 3]
  2. B. (2, +∞)(2,\ +\infty)
  3. C. (−1, 3](-1,\ 3]
  4. D. (2, 4](2,\ 4]
Rezolvare

Răspuns corect: A. (2, 3](2,\ 3]

Domeniu: x+1>0x+1>0 și x−2>0x-2>0, deci x>2x>2. Combinare: lg⁡[(x+1)(x−2)]≤lg⁡4\lg[(x+1)(x-2)] \leq \lg 4. Baza 10>110>1 crescătoare: (x+1)(x−2)≤4(x+1)(x-2) \leq 4. x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0⇒x∈[−2,3].x^2-x-6 \leq 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 3]. Intersecție: [−2,3]∩(2,+∞)=(2,3].[-2,3] \cap (2,+\infty) = (2, 3]. (2, 3](2,\ 3]

Exercițiul 5

Mulțimea soluțiilor inecuației (log⁡2x)2−5log⁡2x+4≤0(\log_2 x)^2 - 5\log_2 x + 4 \le 0 este:
  1. A. [2, 16][2,\ 16]
  2. B. (0, 2](0,\ 2]
  3. C. [1, 4][1,\ 4]
  4. D. [2, 4][2,\ 4]
  5. E. (2, 16)(2,\ 16)
Rezolvare

Răspuns corect: A. [2, 16][2,\ 16]

Fie t=log⁡2xt = \log_2 x (cu x>0x > 0). Inecuația devine t2−5t+4≤0t^2 - 5t + 4 \le 0, adică (t−1)(t−4)≤0(t-1)(t-4) \le 0, deci t∈[1,4]t \in [1, 4]. Revenind: log⁡2x∈[1,4]  ⟺  x∈[21,24]=[2,16].\log_2 x \in [1, 4] \iff x \in [2^1, 2^4] = [2, 16]. Domeniul x>0x>0 e automat satisfăcut. [2, 16][2,\ 16]

Exercițiul 6

Mulțimea soluțiilor inecuației log⁡2(2x−3)>log⁡2(x+1)\log_2(2x - 3) > \log_2(x + 1) este:
  1. A. (4, +∞)(4,\ +\infty)
  2. B. [4, +∞)[4,\ +\infty)
  3. C. (32, +∞)\left(\dfrac{3}{2},\ +\infty\right)
  4. D. (−1, 4)(-1,\ 4)
  5. E. ∅\emptyset
Rezolvare

Răspuns corect: A. (4, +∞)(4,\ +\infty)

Domeniu: 2x−3>0⇒x>322x-3>0 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2} și x+1>0⇒x>−1x+1>0 \Rightarrow x > -1. Intersecție: D=(32,+∞).D = \left(\dfrac{3}{2}, +\infty\right). Reducere: baza >1>1 păstrează sensul: 2x−3>x+1⇒x>4.2x - 3 > x + 1 \Rightarrow x > 4. **Intersecție cu DD:** (4,+∞).(4, +\infty). (4, +∞)(4,\ +\infty)
Încă 4 exerciții cu logaritmi în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a