pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu matrice — clasa a 11-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu matrice pentru clasa a 11-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de matrice.

Exercițiul 1

Pentru A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} și B=(0−152)B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}, A+BA + B este egal cu:
  1. A. (1186)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}
  2. B. (1382)\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 8 & 2 \end{pmatrix}
  3. C. (1−1−22)\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}
  4. D. (0−2158)\begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 15 & 8 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: A. (1186)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}

Se adună componentă cu componentă: (1186)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 8 & 6 \end{pmatrix}.

Exercițiul 2

Matricea unitate I3I_3 este:
  1. A. (000000000)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
  2. B. (111111111)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
  3. C. (100010001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. D. (001010100)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (100010001)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

I3I_3 are 11 pe diagonala principală și 00 în rest.

Exercițiul 3

Pentru A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, matricea A2A^2 este egală cu:
  1. A. (1101)\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  2. B. (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  3. C. (1201)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
  4. D. (2202)\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
Rezolvare

Răspuns corect: C. (1201)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

A2=(1+01+10+00+1)=(1201)A^2 = \begin{pmatrix} 1 + 0 & 1 + 1 \\ 0 + 0 & 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Exercițiul 4

Pentru matrice arbitrare AA și BB din Mn(R)M_n(\mathbb{R}) (cu n≥2n \ge 2), care afirmație este adevărată?
  1. A. AB=BAAB = BA întotdeauna
  2. B. AB≠BAAB \ne BA în general
  3. C. ABAB nu există
  4. D. A+B≠B+AA + B \ne B + A
Rezolvare

Răspuns corect: B. AB≠BAAB \ne BA în general

Înmulțirea matricelor nu este comutativă în general. (Exemplu concret: A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=(0010)B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} — verificați că AB≠BAAB \ne BA.)

Exercițiul 5

Pentru ce valoare a∈Ra \in \mathbb{R} este matricea A=(1a32)A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 3 & 2 \end{pmatrix} simetrică?
  1. A. −3-3
  2. B. 00
  3. C. 33
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

Avem nevoie ca a12=a21a_{12} = a_{21}, adică a=3a = 3.

Exercițiul 6

Pentru A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, elementul (An)12(A^n)_{12} este egal cu (pentru n≥1n \ge 1):
  1. A. 11
  2. B. n−1n - 1
  3. C. nn
  4. D. n2n^2
Rezolvare

Răspuns corect: C. nn

Prin inducție, An=(1n01)A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, deci (An)12=n(A^n)_{12} = n.
Încă 4 exerciții cu matrice în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 11-a