Algebră · BAC M1

Matrice și determinanți — formule, inversă și sisteme

O matrice este un tabel de numere cu

m

linii și

n

coloane. Determinanul (definit doar pentru matrice pătratice) este un număr care îți spune dacă matricea e inversabilă și rezolvă sisteme de ecuații prin regula lui Cramer. Mai jos găsești operațiile fundamentale (sumă, produs, transpusă), formulele pentru determinanți de ordin

2

și

3

(Sarrus), formula matricei inverse

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*

și aplicațiile la sisteme de ecuații liniare.

Operații pe matrice

Suma se face element cu element (matricele trebuie să aibă același format). Produsul cere ca numărul de coloane al primei matrice să egaleze numărul de linii al celei de-a doua.

Formule
Formulă	Expresie
Suma a două matricecondiție: $A$ și $B$ de același format $m \times n$	$(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$
Produs cu un scalarcondiție: $\alpha \in \mathbb{R}$	$(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$
Produsul a două matricecondiție: $A$ este $m \times p$ , $B$ este $p \times n$ , rezultat $m \times n$	$(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$
Necomutativitatea produsuluicondiție: chiar și când ambele produse există	$A \cdot B \neq B \cdot A \text{ în general}$
Transpusacondiție: interschimbi liniile cu coloanele	$(A^t)_{ij} = a_{ji}$
Transpusa unui produscondiție: ordinea se inversează	$(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t$

Fișa PDF

Tabel matrice și determinanți (PDF)

AntrenamentExersează determinanți chiar acum108 de exerciții rezolvate pentru clasa a 11-a — alege nivelul tău.

Vezi culegerea capitolului

Determinanți — formulele Sarrus și Laplace

Pentru matrice de ordin

2

, formula e directă. Pentru ordin

3

, folosești regula lui Sarrus (cele șase produse cu diagonalele). Pentru ordin

\geq 4

, dezvolți după o linie sau coloană (Laplace).

Formule
Formulă	Expresie
Determinant de ordin $2$	$\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
Determinant de ordin $3$ — Sarruscondiție: trei produse pe diagonalele descrescătoare minus trei produse pe diagonalele crescătoare	$\det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}$
Dezvoltare Laplace (după linia $i$ )condiție: $M_{ij}$ — minorul (det. matricei obținute prin eliminarea liniei $i$ și coloanei $j$ )	$\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij}$
Determinantul unui produscondiție: $A$ , $B$ pătratice, de același ordin	$\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B$
Determinantul transpusei	$\det(A^t) = \det A$
Determinant cu scalarcondiție: $A$ de ordin $n$	$\det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det A$

Test rapidAi formulele în față — vezi dacă le și stăpânești5 grile de matrici, de la Începător la Expert. Scor instant, fără cont.

Începe testul

Proprietăți ale determinanților

Aceste proprietăți simplifică drastic calculele — învață să le recunoști înainte să dezvolți Sarrus sau Laplace.

Formule
Formulă	Expresie
Linie sau coloană de zerouricondiție: dacă o linie (sau coloană) este formată din zerouri	$\det A = 0$
Două linii sau coloane egalecondiție: dacă două linii (sau două coloane) sunt egale	$\det A = 0$
Linii proporționalecondiție: dacă o linie este multiplu al alteia	$\det A = 0$
Schimbarea a două linii	$\text{schimbi 2 linii} \Rightarrow \det A \text{ își schimbă semnul}$
Adăugarea unui multiplu al unei liniicondiție: regula de transformare elementară fără efect asupra determinantului	$\det A \text{ se păstrează când adaugi la o linie un multiplu al altei linii}$

Matricea inversă

O matrice

A

este inversabilă dacă și numai dacă

\det A \neq 0

. Inversa se calculează prin formula

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*

, unde

A^*

este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor).

Formule
Formulă	Expresie
Criteriul de inversabilitate	$A \text{ inversabilă} \iff \det A \neq 0$
Formula matricei inversecondiție: $A^* = (A_{ij})^t$ — adjuncta (transpusa cofactorilor)	$A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*$
Inversa pentru matrice $2 \times 2$ condiție: $ad - bc \neq 0$	$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
Inversa unui produscondiție: ordinea se inversează	$(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$
Determinantul inversei	$\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}$

Sisteme de ecuații — regula lui Cramer

Un sistem liniar

A \cdot X = B

A

matrice pătratică se rezolvă prin Cramer dacă

\det A \neq 0

. Atunci sistemul are soluție unică, iar fiecare necunoscută se exprimă printr-un raport de determinanți.

Formule
Formulă	Expresie
Formula lui Cramercondiție: $A_i$ — matricea obținută înlocuind coloana $i$ a lui $A$ cu coloana termenilor liberi	$x_i = \frac{\det A_i}{\det A}$
Compatibilitate	$\det A \neq 0 \Rightarrow \text{sistem compatibil determinat (soluție unică)}$
Determinant nul — cazul ambiguucondiție: decizi după rangul matricei extinse (Kronecker-Capelli)	$\det A = 0 \Rightarrow \text{sistem incompatibil sau compatibil nedeterminat}$
Sistem omogen ( $B = 0$ )	$\det A \neq 0 \Rightarrow \text{soluție unică } X = 0;\quad \det A = 0 \Rightarrow \text{soluții nebanale}$

Probleme rezolvate

Unde apar matrice și determinanți în probleme rezolvate

Pe BAC matematică mate-info, Subiectul II problema 1 este aproape întotdeauna o problemă cu matrice și determinanți — calcul de determinant de ordin 3 (prin Sarrus sau Laplace), proprietăți (linii proporționale, schimbare de linii), rezolvarea unui sistem $3 \times 3$ prin Cramer sau identificarea matricei inverse. Pe ultimii cinci ani fiecare variantă mate-info a avut o cerință matricială explicită.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Vrei să exersezi, nu doar să citești? Vezi culegerea de exerciții rezolvate — pe clase și capitole, cu rezolvare completă la fiecare.

Întrebări frecvente despre matrice și determinanți

Cum înmulțesc două matrice?

Verifici întâi că dimensiunile sunt compatibile: numărul de coloane al primei matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii al celei de-a doua. Apoi elementul (i, j) din produsul A · B este suma produselor: (A·B)_(ij) = a_(i1)·b_(1j) + a_(i2)·b_(2j) + ... + a_(ip)·b_(pj). Practic: parcurgi linia i din A și coloana j din B, înmulțești pereche cu pereche și aduni.

Când este o matrice inversabilă?

O matrice pătratică A este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei e diferit de zero (det A ≠ 0). Dacă det A = 0, spunem că A este singulară și nu are inversă. Echivalent, A este inversabilă dacă și numai dacă rangul ei este egal cu ordinul (toate liniile sau coloanele sunt liniar independente).

Cum aplic regula lui Sarrus pentru determinantul de ordin 3?

Scrii matricea 3x3 și apoi mai adaugi primele două coloane în dreapta (sau primele două linii dedesubt). Apoi calculezi: trei produse pe diagonalele care merg de la stânga-sus la dreapta-jos (cu semn plus) și trei produse pe diagonalele care merg de la dreapta-sus la stânga-jos (cu semn minus). Sumă: det = (3 produse cu +) - (3 produse cu -). Regula Sarrus funcționează DOAR pentru determinanți de ordin 3; pentru ordin mai mare, folosești Laplace.

De ce $(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$ și nu $A^{-1} \cdot B^{-1}$ ?

Pentru că produsul matricelor nu e comutativ. Verificarea directă: (A · B) · (B^(-1) · A^(-1)) = A · (B · B^(-1)) · A^(-1) = A · I · A^(-1) = A · A^(-1) = I. Dacă ai pune A^(-1) · B^(-1) în loc, calculul nu ar mai colapsa la identitate. Regula generală: la inversă, ordinea se inversează (asemănător cu transpusa).

Când rezolv un sistem prin Cramer și când prin Gauss?

Cramer e elegantă dar costisitoare — calculezi n + 1 determinanți pentru un sistem n × n. E utilă când sistemul e mic (2 × 2 sau 3 × 3) și știi că det A ≠ 0. Pentru sisteme mai mari sau când nu știi rangul, eliminarea Gauss e mai eficientă: aduci matricea la formă eșalon și citești soluția (sau constatzi incompatibilitatea). La BAC, ambele apar — alegerea depinde de cum e formulat enunțul.

Cum afectează schimbarea a două linii determinantul?

Determinantul își schimbă semnul. Dacă schimbi liniile L_i ↔ L_j într-o matrice A obținând A', atunci det A' = -det A. Aceasta e o consecință directă a definiției determinantului prin permutări — fiecare schimbare de linii corespunde unei transpoziții în permutare, care schimbă semnul ei.

Pe ce subiecte BAC apar matricele?

La M1 mate-info, Subiectul II problema 1 este aproape mereu pe matrice și determinanți — calcul de determinant, dezvoltare Laplace, sau rezolvare de sistem prin Cramer. Pe ultimii cinci ani de Vară, fiecare variantă a avut cel puțin o cerință matricială explicită. Operațiile de bază + determinanți de ordin 2 și 3 + Cramer pentru sisteme 3 × 3 acoperă practic tot.