PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Matrice și determinanți — formule, inversă și sisteme

O matrice este un tabel de numere cu mm linii și nn coloane. Determinanul (definit doar pentru matrice pătratice) este un număr care îți spune dacă matricea e inversabilă și rezolvă sisteme de ecuații prin regula lui Cramer. Mai jos găsești operațiile fundamentale (sumă, produs, transpusă), formulele pentru determinanți de ordin 22 și 33 (Sarrus), formula matricei inverse A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^* și aplicațiile la sisteme de ecuații liniare.

Descarcă tabelul

Tabel matrice și determinanți (PDF)

Operații pe matrice

Suma se face element cu element (matricele trebuie să aibă același format). Produsul cere ca numărul de coloane al primei matrice să egaleze numărul de linii al celei de-a doua.
  • Suma a două matricecondiție: AA și BB de același format m×nm \times n
    (A+B)ij=aij+bij(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
  • Produs cu un scalarcondiție: α∈R\alpha \in \mathbb{R}
    (αA)ij=α⋅aij(\alpha A)_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}
  • Produsul a două matricecondiție: AA este m×pm \times p, BB este p×np \times n, rezultat m×nm \times n
    (A⋅B)ij=∑k=1paik⋅bkj(A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}
  • Necomutativitatea produsuluicondiție: chiar și când ambele produse există
    A⋅B≠B⋅A ıˆn generalA \cdot B \neq B \cdot A \text{ în general}
  • Transpusacondiție: interschimbi liniile cu coloanele
    (At)ij=aji(A^t)_{ij} = a_{ji}
  • Transpusa unui produscondiție: ordinea se inversează
    (A⋅B)t=Bt⋅At(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t

Determinanți — formulele Sarrus și Laplace

Pentru matrice de ordin 22, formula e directă. Pentru ordin 33, folosești regula lui Sarrus (cele șase produse cu diagonalele). Pentru ordin ≥4\geq 4, dezvolți după o linie sau coloană (Laplace).
  • Determinant de ordin 22
    det⁡(abcd)=ad−bc\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
  • Determinant de ordin 33 — Sarruscondiție: trei produse pe diagonalele descrescătoare minus trei produse pe diagonalele crescătoare
    det⁡A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33\det A = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}
  • Dezvoltare Laplace (după linia ii)condiție: MijM_{ij} — minorul (det. matricei obținute prin eliminarea liniei ii și coloanei jj)
    det⁡A=∑j=1n(−1)i+j⋅aij⋅Mij\det A = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot M_{ij}
  • Determinantul unui produscondiție: AA, BB pătratice, de același ordin
    det⁡(A⋅B)=det⁡A⋅det⁡B\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B
  • Determinantul transpusei
    det⁡(At)=det⁡A\det(A^t) = \det A
  • Determinant cu scalarcondiție: AA de ordin nn
    det⁡(αA)=αn⋅det⁡A\det(\alpha A) = \alpha^n \cdot \det A

Proprietăți ale determinanților

Aceste proprietăți simplifică drastic calculele — învață să le recunoști înainte să dezvolți Sarrus sau Laplace.
  • Linie sau coloană de zerouricondiție: dacă o linie (sau coloană) este formată din zerouri
    det⁡A=0\det A = 0
  • Două linii sau coloane egalecondiție: dacă două linii (sau două coloane) sunt egale
    det⁡A=0\det A = 0
  • Linii proporționalecondiție: dacă o linie este multiplu al alteia
    det⁡A=0\det A = 0
  • Schimbarea a două linii
    schimbi 2 linii⇒det⁡A ıˆși schimba˘ semnul\text{schimbi 2 linii} \Rightarrow \det A \text{ își schimbă semnul}
  • Adăugarea unui multiplu al unei liniicondiție: regula de transformare elementară fără efect asupra determinantului
    det⁡A se pa˘streaza˘ caˆnd adaugi la o linie un multiplu al altei linii\det A \text{ se păstrează când adaugi la o linie un multiplu al altei linii}

Matricea inversă

O matrice AA este inversabilă dacă și numai dacă det⁡A≠0\det A \neq 0. Inversa se calculează prin formula A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*, unde A∗A^* este matricea adjunctă (transpusa matricei cofactorilor).
  • Criteriul de inversabilitate
    A inversabila˘  ⟺  det⁡A≠0A \text{ inversabilă} \iff \det A \neq 0
  • Formula matricei inversecondiție: A∗=(Aij)tA^* = (A_{ij})^t — adjuncta (transpusa cofactorilor)
    A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot A^*
  • Inversa pentru matrice 2×22 \times 2condiție: ad−bc≠0ad - bc \neq 0
    A=(abcd)⇒A−1=1ad−bc(d−b−ca)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
  • Inversa unui produscondiție: ordinea se inversează
    (A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
  • Determinantul inversei
    det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}

Sisteme de ecuații — regula lui Cramer

Un sistem liniar A⋅X=BA \cdot X = B cu AA matrice pătratică se rezolvă prin Cramer dacă det⁡A≠0\det A \neq 0. Atunci sistemul are soluție unică, iar fiecare necunoscută se exprimă printr-un raport de determinanți.
  • Formula lui Cramercondiție: AiA_i — matricea obținută înlocuind coloana ii a lui AA cu coloana termenilor liberi
    xi=det⁡Aidet⁡Ax_i = \frac{\det A_i}{\det A}
  • Compatibilitate
    det⁡A≠0⇒sistem compatibil determinat (soluție unica˘)\det A \neq 0 \Rightarrow \text{sistem compatibil determinat (soluție unică)}
  • Determinant nul — cazul ambiguucondiție: decizi după rangul matricei extinse (Kronecker-Capelli)
    det⁡A=0⇒sistem incompatibil sau compatibil nedeterminat\det A = 0 \Rightarrow \text{sistem incompatibil sau compatibil nedeterminat}
  • Sistem omogen (B=0B = 0)
    det⁡A≠0⇒soluție unica˘ X=0;det⁡A=0⇒soluții nebanale\det A \neq 0 \Rightarrow \text{soluție unică } X = 0;\quad \det A = 0 \Rightarrow \text{soluții nebanale}
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, Subiectul II problema 1 este aproape întotdeauna o problemă cu matrice și determinanți — calcul de determinant de ordin 3 (prin Sarrus sau Laplace), proprietăți (linii proporționale, schimbare de linii), rezolvarea unui sistem $3 \times 3$ prin Cramer sau identificarea matricei inverse. Pe ultimii cinci ani fiecare variantă mate-info a avut o cerință matricială explicită.

Întrebări frecvente despre matrice și determinanți

Cum înmulțesc două matrice?

Verifici întâi că dimensiunile sunt compatibile: numărul de coloane al primei matrice trebuie să fie egal cu numărul de linii al celei de-a doua. Apoi elementul (i, j) din produsul A · B este suma produselor: (A·B)_(ij) = a_(i1)·b_(1j) + a_(i2)·b_(2j) + ... + a_(ip)·b_(pj). Practic: parcurgi linia i din A și coloana j din B, înmulțești pereche cu pereche și aduni.

Când este o matrice inversabilă?

O matrice pătratică A este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei e diferit de zero (det A ≠ 0). Dacă det A = 0, spunem că A este singulară și nu are inversă. Echivalent, A este inversabilă dacă și numai dacă rangul ei este egal cu ordinul (toate liniile sau coloanele sunt liniar independente).

Cum aplic regula lui Sarrus pentru determinantul de ordin 3?

Scrii matricea 3x3 și apoi mai adaugi primele două coloane în dreapta (sau primele două linii dedesubt). Apoi calculezi: trei produse pe diagonalele care merg de la stânga-sus la dreapta-jos (cu semn plus) și trei produse pe diagonalele care merg de la dreapta-sus la stânga-jos (cu semn minus). Sumă: det = (3 produse cu +) - (3 produse cu -). Regula Sarrus funcționează DOAR pentru determinanți de ordin 3; pentru ordin mai mare, folosești Laplace.

De ce (A⋅B)−1=B−1⋅A−1(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1} și nu A−1⋅B−1A^{-1} \cdot B^{-1}?

Pentru că produsul matricelor nu e comutativ. Verificarea directă: (A · B) · (B^(-1) · A^(-1)) = A · (B · B^(-1)) · A^(-1) = A · I · A^(-1) = A · A^(-1) = I. Dacă ai pune A^(-1) · B^(-1) în loc, calculul nu ar mai colapsa la identitate. Regula generală: la inversă, ordinea se inversează (asemănător cu transpusa).

Când rezolv un sistem prin Cramer și când prin Gauss?

Cramer e elegantă dar costisitoare — calculezi n + 1 determinanți pentru un sistem n × n. E utilă când sistemul e mic (2 × 2 sau 3 × 3) și știi că det A ≠ 0. Pentru sisteme mai mari sau când nu știi rangul, eliminarea Gauss e mai eficientă: aduci matricea la formă eșalon și citești soluția (sau constatzi incompatibilitatea). La BAC, ambele apar — alegerea depinde de cum e formulat enunțul.

Cum afectează schimbarea a două linii determinantul?

Determinantul își schimbă semnul. Dacă schimbi liniile L_i ↔ L_j într-o matrice A obținând A', atunci det A' = -det A. Aceasta e o consecință directă a definiției determinantului prin permutări — fiecare schimbare de linii corespunde unei transpoziții în permutare, care schimbă semnul ei.

Pe ce subiecte BAC apar matricele?

La M1 mate-info, Subiectul II problema 1 este aproape mereu pe matrice și determinanți — calcul de determinant, dezvoltare Laplace, sau rezolvare de sistem prin Cramer. Pe ultimii cinci ani de Vară, fiecare variantă a avut cel puțin o cerință matricială explicită. Operațiile de bază + determinanți de ordin 2 și 3 + Cramer pentru sisteme 3 × 3 acoperă practic tot.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.