Exerciții rezolvate cu integrale — clasa a 12-a Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu integrale pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de integrale .
Exercițiul 1 ∫ x 3 d x \displaystyle\int x^3 \, dx ∫ x 3 d x este egal cu:
A. 3 x 2 + C 3x^2 + C 3 x 2 + C B. x 4 3 + C \dfrac{x^4}{3} + C 3 x 4 + C C. x 4 4 + C \dfrac{x^4}{4} + C 4 x 4 + C D. 4 x 4 + C 4x^4 + C 4 x 4 + C Rezolvare Răspuns corect: C. x 4 4 + C \dfrac{x^4}{4} + C 4 x 4 + C
∫ x 3 d x = x 4 4 + C \int x^3 \, dx = \dfrac{x^4}{4} + C ∫ x 3 d x = 4 x 4 + C .
Exercițiul 2 ∫ 1 x d x \displaystyle\int \dfrac{1}{x} \, dx ∫ x 1 d x (pentru
x > 0 x > 0 x > 0 ) este egal cu:
A. 1 x 2 + C \dfrac{1}{x^2} + C x 2 1 + C B. − 1 x 2 + C -\dfrac{1}{x^2} + C − x 2 1 + C C. ln x + C \ln x + C ln x + C D. x 0 0 + C \dfrac{x^0}{0} + C 0 x 0 + C Rezolvare Răspuns corect: C. ln x + C \ln x + C ln x + C
∫ d x x = ln ∣ x ∣ + C \int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C ∫ x d x = ln ∣ x ∣ + C . Pentru
x > 0 x > 0 x > 0 :
ln x + C \ln x + C ln x + C .
Exercițiul 3 ∫ cos x d x \displaystyle\int \cos x \, dx ∫ cos x d x este egal cu:
A. − cos x + C -\cos x + C − cos x + C B. − sin x + C -\sin x + C − sin x + C C. sin x + C \sin x + C sin x + C D. tg x + C \tg x + C tg x + C Rezolvare Răspuns corect: C. sin x + C \sin x + C sin x + C
∫ cos x d x = sin x + C \int \cos x \, dx = \sin x + C ∫ cos x d x = sin x + C .
Exercițiul 4 ∫ x e x d x \displaystyle\int x e^x \, dx ∫ x e x d x este egal cu:
A. x 2 2 e x + C \dfrac{x^2}{2}e^x + C 2 x 2 e x + C B. e x + C e^x + C e x + C C. ( x − 1 ) e x + C (x - 1)e^x + C ( x − 1 ) e x + C D. x e x + C x e^x + C x e x + C Rezolvare Răspuns corect: C. ( x − 1 ) e x + C (x - 1)e^x + C ( x − 1 ) e x + C
∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C = ( x − 1 ) e x + C .
Exercițiul 5 ∫ x cos x d x \displaystyle\int x \cos x \, dx ∫ x cos x d x este egal cu:
A. x 2 2 cos x + C \dfrac{x^2}{2} \cos x + C 2 x 2 cos x + C B. − x sin x + cos x + C -x \sin x + \cos x + C − x sin x + cos x + C C. x sin x + cos x + C x \sin x + \cos x + C x sin x + cos x + C D. sin x − x cos x + C \sin x - x \cos x + C sin x − x cos x + C Rezolvare Răspuns corect: C. x sin x + cos x + C x \sin x + \cos x + C x sin x + cos x + C
u = x u = x u = x ,
d u = d x du = dx d u = d x ,
v = sin x v = \sin x v = sin x .
∫ x cos x d x = x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x + C \int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C ∫ x cos x d x = x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x + C .
Exercițiul 6 ∫ 1 x ( x + 1 ) d x \displaystyle\int \dfrac{1}{x(x + 1)} \, dx ∫ x ( x + 1 ) 1 d x este egal cu:
A. ln ∣ x ( x + 1 ) ∣ + C \ln|x(x + 1)| + C ln ∣ x ( x + 1 ) ∣ + C B. arctg x + C \arctg x + C arctg x + C C. ln ∣ x x + 1 ∣ + C \ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C ln x + 1 x + C D. 1 x − 1 x + 1 + C \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1} + C x 1 − x + 1 1 + C Rezolvare Răspuns corect: C. ln ∣ x x + 1 ∣ + C \ln\!\left|\dfrac{x}{x+1}\right| + C ln x + 1 x + C
∫ ( 1 x − 1 x + 1 ) d x = ln ∣ x ∣ − ln ∣ x + 1 ∣ + C = ln ∣ x x + 1 ∣ + C \int \!\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right) dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C = \ln\!\left|\dfrac{x}{x + 1}\right| + C ∫ ( x 1 − x + 1 1 ) d x = ln ∣ x ∣ − ln ∣ x + 1∣ + C = ln x + 1 x + C .
Încă 4 exerciții cu integrale în aplicație Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului. ← Toate exercițiile de clasa a 12-a 
