PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Analiză matematică · BAC M1

Formule integrale — tabel complet cu primitive

Tabelul cu formule integrale este harta primitivelor pe care BAC-ul ți le cere. Mai jos găsești tot ce ai nevoie: integralele nedefinite ale funcțiilor elementare, regulile pentru funcții compuse, integrarea prin substituție și prin părți, formula Leibniz-Newton și aplicațiile la arii și volume — verificate față de baremele oficiale din ultimii cinci ani.

Descarcă tabelul

Tabel integrale (PDF)

Tabel integrale nedefinite — funcții elementare

Pentru fiecare funcție elementară, o singură primitivă (familia completă se obține adăugând constanta CC). Domeniul de validitate e marcat pe coloana din dreapta.
  • Puterecondiție: n≠−1n \neq -1
    ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
  • Funcția 1/xcondiție: x≠0x \neq 0
    ∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C
  • Exponențiala naturală
    ∫ex dx=ex+C\int e^x \, dx = e^x + C
  • Exponențiala generalăcondiție: a>0a > 0, a≠1a \neq 1
    ∫ax dx=axln⁡a+C\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
  • Sinus
    ∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \sin x \, dx = -\cos x + C
  • Cosinus
    ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x \, dx = \sin x + C
  • Pătratul secanteicondiție: x≠π2+kπx \neq \frac{\pi}{2} + k\pi
    ∫1cos⁡2x dx=tg⁡x+C\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tg x + C
  • Pătratul cosecanteicondiție: x≠kπx \neq k\pi
    ∫1sin⁡2x dx=−ctg⁡x+C\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\ctg x + C
  • Funcția 1/(1+x²)
    ∫11+x2 dx=arctg⁡x+C\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctg x + C
  • Funcția 1/√(1-x²)condiție: x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
    ∫11−x2 dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x + C
  • Fracție rațională cu rădăcinicondiție: a>0a > 0, x≠±ax \neq \pm a
    ∫1x2−a2 dx=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C
  • Arctangenta scalatăcondiție: a>0a > 0
    ∫1a2+x2 dx=1aarctg⁡xa+C\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C
  • Arcsinus scalatcondiție: a>0a > 0, x∈(−a,a)x \in (-a, a)
    ∫1a2−x2 dx=arcsin⁡xa+C\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x}{a} + C
  • Logaritm cu rădăcină
    ∫1x2+a2 dx=ln⁡(x+x2+a2)+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + a^2}\bigr) + C

Integrale ale funcțiilor compuse

Dacă recunoști pe g′(x)g'(x) în integrand, ai descompus deja problema. Mai jos sunt cele șase forme care apar cel mai des în baremele BAC.
  • Forma generală (schimbare de variabilă)condiție: FF este o primitivă a lui ff
    ∫f(g(x))⋅g′(x) dx=F(g(x))+C\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = F(g(x)) + C
  • Derivata pe funcțiecondiție: g(x)≠0g(x) \neq 0
    ∫g′(x)g(x) dx=ln⁡∣g(x)∣+C\int \frac{g'(x)}{g(x)} \, dx = \ln|g(x)| + C
  • Exponențială compusă
    ∫g′(x)⋅eg(x) dx=eg(x)+C\int g'(x) \cdot e^{g(x)} \, dx = e^{g(x)} + C
  • Putere compusăcondiție: n≠−1n \neq -1
    ∫g′(x)⋅(g(x))n dx=(g(x))n+1n+1+C\int g'(x) \cdot \bigl(g(x)\bigr)^n \, dx = \frac{\bigl(g(x)\bigr)^{n+1}}{n+1} + C
  • Cosinus compus
    ∫g′(x)⋅cos⁡(g(x)) dx=sin⁡(g(x))+C\int g'(x) \cdot \cos(g(x)) \, dx = \sin(g(x)) + C
  • Sinus compus
    ∫g′(x)⋅sin⁡(g(x)) dx=−cos⁡(g(x))+C\int g'(x) \cdot \sin(g(x)) \, dx = -\cos(g(x)) + C

Reguli de integrare — substituție și prin părți

Liniaritatea e implicită. Substituția și integrarea prin părți sunt cele două tehnici care rezolvă peste 90% din integralele de BAC.
  • Liniaritate
    ∫(αf(x)+βg(x)) dx=α∫f(x) dx+β∫g(x) dx\int \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr) \, dx = \alpha \int f(x) \, dx + \beta \int g(x) \, dx
  • Schimbare de variabilă
    ∫f(g(x))⋅g′(x) dx=∫f(u) du,u=g(x)\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du,\quad u = g(x)
  • Integrarea prin părțicondiție: u,vu, v de clasă C1C^1
    ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = u v - \int v \, du
  • Prin părți — formă explicită
    ∫f(x)⋅g′(x) dx=f(x)⋅g(x)−∫f′(x)⋅g(x) dx\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx

Integrale definite — proprietăți esențiale

Toate decurg din formula Leibniz-Newton. Memorează prima și nu trebuie să reții restul — le deduci.
  • Formula Leibniz-Newtoncondiție: FF primitivă a lui ff, ff continuă pe [a,b][a, b]
    ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
  • Inversarea limitelor
    ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx
  • Aditivitatea după interval
    ∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx
  • Funcție impară pe interval simetriccondiție: ff impară
    ∫−aaf(x) dx=0\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0
  • Funcție pară pe interval simetriccondiție: ff pară
    ∫−aaf(x) dx=2∫0af(x) dx\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx
  • Schimbare de variabilă în integrala definită
    ∫abf(g(x))⋅g′(x) dx=∫g(a)g(b)f(u) du\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du

Aplicații — arii și volume

La BAC, aplicațiile integralelor sunt aproape exclusiv arii sub grafic, arii între două curbe și volumul corpului de rotație în jurul axei OxOx.
  • Aria sub graficul lui fcondiție: f≥0f \geq 0 pe [a,b][a, b]
    A=∫abf(x) dx\mathcal{A} = \int_a^b f(x) \, dx
  • Aria între două grafice
    A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx
  • Volumul corpului de rotație în jurul OxOx
    V=π∫ab(f(x))2 dx\mathcal{V} = \pi \int_a^b \bigl(f(x)\bigr)^2 \, dx
  • Lungimea graficului lui fcondiție: ff de clasă C1C^1
    L=∫ab1+(f′(x))2 dx\mathcal{L} = \int_a^b \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2} \, dx
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe ultimii cinci ani de BAC matematică mate-info, integralele apar fără excepție în Subiectul III, problema 2. Cele mai frecvente cerințe: aplicarea formulei prin părți (peste 70% din variante), calculul unei arii sub un grafic și demonstrarea unei recurențe pentru un șir definit prin integrale. Dacă reții doar prin părți și formula ariei, ai garantat punctaj parțial.

Întrebări frecvente despre formule integrale

Care formule de integrale sunt obligatorii la BAC matematică M1?

Integralele funcțiilor elementare (putere, exponențială, sinus, cosinus, 1/x, 1/(1+x²)), formula Leibniz-Newton și integrarea prin părți. Pe baremele oficiale ale ultimilor cinci ani de mate-info, fiecare variantă conține o integrală prin părți și cel puțin o aplicație — arie sub grafic, arie între curbe sau volum de rotație. Integrarea prin substituție apare la jumătate dintre subiecte.

Când folosesc integrarea prin părți și când prin substituție?

Prin substituție când vezi în integrand derivata g'(x) lipită de o expresie în g(x) — adică integrandul are forma f(g(x))·g'(x). Prin părți când integrandul este produs de două funcții de tipuri diferite — polinomial cu exponențial, polinomial cu trigonometric, sau logaritm cu orice. Mnemonicul LIATE (Logaritm, Inversă trigonometrică, Algebrică, Trigonometrică, Exponențială) îți spune ce alegi drept u.

De ce nu se scrie + C la integrala definită?

Pentru că se simplifică. Integrala definită este F(b) − F(a), iar constanta apare în ambii termeni cu același semn și se anulează. Constanta C are sens doar la integrala nedefinită, unde rezultatul nu este un număr ci o familie infinită de primitive care diferă printr-o constantă.

Cum se calculează aria delimitată de două grafice?

Se integrează valoarea absolută a diferenței: A = ∫ |f(x) − g(x)| dx pe intervalul cerut. În practică, găsești întâi punctele de intersecție rezolvând f(x) = g(x), apoi descompui integrala pe intervalele unde una dintre funcții e mai mare decât cealaltă, eliminând modulul. Răspunsul final este suma absolută a contribuțiilor.

Ce înseamnă că o funcție este impară pe un interval simetric?

Înseamnă că f(−x) = −f(x) pentru orice x din interval, iar intervalul este de forma [−a, a]. În acest caz integrala este automat zero — graficul este simetric față de origine, iar ariile pozitive și negative se anulează. Verifică paritatea înainte să calculezi: economisești cinci minute la BAC.

Există funcții fără primitivă elementară?

Da. Funcții ca e^(−x²), sin(x)/x, sin(x²), 1/ln(x) au primitive bine definite (integrala lor există), dar nu pot fi exprimate folosind funcțiile elementare standard. Apar în statistică (funcția erorilor) și în analiza Fourier. La BAC nu sunt cerute — programa se limitează la integrale care se rezolvă cu tabelul și cu cele două tehnici.

Care e diferența dintre primitivă și integrală?

O primitivă a lui f este orice funcție F cu F'(x) = f(x). Integrala nedefinită ∫ f(x) dx este mulțimea tuturor primitivelor — scrisă F(x) + C. Integrala definită ∫ₐᵇ f(x) dx este un număr, calculat prin formula Leibniz-Newton ca F(b) − F(a) — aria orientată dintre graficul lui f și axa Ox, pe intervalul [a, b].

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.