pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu integrale recursive — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu integrale recursive pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de integrale recursive.

Exercițiul 1

Fie In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx. Atunci I0I_0 este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 12\dfrac{1}{2}
  4. D. divergent
Rezolvare

Răspuns corect: B. 11

I0=∫011 dx=1I_0 = \int_0^1 1 \, dx = 1.

Exercițiul 2

Pentru In=∫01xnex dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^x \, dx, integrarea prin părți dă recurența:
  1. A. In=e+nIn−1I_n = e + n I_{n-1}
  2. B. In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}
  3. C. In=nIn−1−eI_n = n I_{n-1} - e
  4. D. In=(n−1)In−1I_n = (n - 1) I_{n-1}
Rezolvare

Răspuns corect: B. In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1}

In=xnex∣01−n∫01xn−1ex dx=e−nIn−1I_n = x^n e^x\Big|_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x \, dx = e - n I_{n-1}.

Exercițiul 3

Pentru In=∫01xn dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n \, dx, șirul (In)n≥0(I_n)_{n \ge 0} este:
  1. A. strict crescător
  2. B. strict descrescător
  3. C. constant
  4. D. nemonoton
Rezolvare

Răspuns corect: B. strict descrescător

Pentru x∈[0,1]x \in [0, 1], xn+1≤xnx^{n+1} \le x^n, deci In+1≤InI_{n+1} \le I_n. Strict descrescător.

Exercițiul 4

Termenii șirului In=∫0π/2sin⁡nx dxI_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx sunt:
  1. A. întotdeauna negativi
  2. B. alternați în semn
  3. C. întotdeauna pozitivi
  4. D. zero pentru nn par
Rezolvare

Răspuns corect: C. întotdeauna pozitivi

sin⁡x≥0\sin x \ge 0 pe [0,π/2][0, \pi/2], deci sin⁡nx≥0\sin^n x \ge 0 și integrala este ≥0\ge 0 (de fapt >0> 0 pentru nn finit).

Exercițiul 5

Pentru In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx, inegalitatea 0≤In≤1n+10 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1} are loc deoarece:
  1. A. 11+x≥0\dfrac{1}{1 + x} \ge 0 pe [0,1][0, 1]
  2. B. xn1+x≤1\dfrac{x^n}{1 + x} \le 1 pe [0,1][0, 1]
  3. C. 11+x≤1\dfrac{1}{1 + x} \le 1 pe [0,1][0, 1]
  4. D. xn1+x≥xn\dfrac{x^n}{1 + x} \ge x^n
Rezolvare

Răspuns corect: C. 11+x≤1\dfrac{1}{1 + x} \le 1 pe [0,1][0, 1]

Pe [0,1][0, 1]: 1≤1+x≤21 \le 1 + x \le 2, deci 12≤11+x≤1\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{1 + x} \le 1. Rezultă că xn1+x≤xn\dfrac{x^n}{1 + x} \le x^n, dând In≤∫01xn dx=1n+1I_n \le \int_0^1 x^n \, dx = \dfrac{1}{n + 1}.

Exercițiul 6

Pentru In=∫01xn1+x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \, dx, lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n este egal cu:
  1. A. 00
  2. B. 12\dfrac{1}{2}
  3. C. ln⁡2\ln 2
  4. D. ∞\infty
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

0≤In≤1n+1→00 \le I_n \le \dfrac{1}{n + 1} \to 0, deci In→0I_n \to 0 prin criteriul cleștar.
Încă 4 exerciții cu integrale recursive în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a