pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu volumul corpurilor de rotație — clasa a 12-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu volumul corpurilor de rotație pentru clasa a 12-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de volumul corpurilor de rotație.

Exercițiul 1

Volumul solidului generat prin rotirea graficului f(x)≥0f(x) \ge 0 pe [a,b][a, b] în jurul axei OxOx este:
  1. A. π∫abf(x) dx\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx
  2. B. ∫abf(x)2 dx\displaystyle\int_a^b f(x)^2 \, dx
  3. C. π∫ab[f(x)]2 dx\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx
  4. D. 2π∫abf(x) dx2\pi \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx
Rezolvare

Răspuns corect: C. π∫ab[f(x)]2 dx\pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx

V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \displaystyle\int_a^b [f(x)]^2 \, dx — formula metodei discului.

Exercițiul 2

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=xf(x) = \sqrt{x} pe [0,4][0, 4] în jurul axei OxOx este:
  1. A. 4π4\pi
  2. B. 8π8\pi
  3. C. 12π12\pi
  4. D. 16π16\pi
Rezolvare

Răspuns corect: B. 8π8\pi

V=π∫04(x)2 dx=π∫04x dx=π⋅162=8πV = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi.

Exercițiul 3

Rotirea lui f(x)=R2−x2f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} pe [−R,R][-R, R] în jurul axei OxOx generează un:
  1. A. con
  2. B. cilindru
  3. C. sferă de rază RR
  4. D. elipsoid
Rezolvare

Răspuns corect: C. sferă de rază RR

Graficul este un semicerc; rotirea în jurul axei OxOx generează o sferă de rază RR. (Volumul =43πR3= \dfrac{4}{3}\pi R^3.)

Exercițiul 4

Volumul generat prin rotirea lui f(x)=x2f(x) = x^2 pe [0,1][0, 1] în jurul axei OxOx este:
  1. A. π\pi
  2. B. π3\dfrac{\pi}{3}
  3. C. π5\dfrac{\pi}{5}
  4. D. π7\dfrac{\pi}{7}
Rezolvare

Răspuns corect: C. π5\dfrac{\pi}{5}

V=π∫01x4 dx=π⋅15=π5V = \pi \int_0^1 x^4 \, dx = \pi \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{\pi}{5}.

Exercițiul 5

Volumul solidului generat prin rotirea regiunii cuprinse între y=xy = x și y=x2y = x^2 pe [0,1][0, 1] în jurul axei OxOx este egal cu:
  1. A. π/30\pi/30
  2. B. π/15\pi/15
  3. C. 2π/152\pi/15
  4. D. π/3\pi/3
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2π/152\pi/15

V=π∫01(x2−x4) dx=π ⁣[x33−x55]01=π ⁣(13−15)=2π15V = \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\!\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{2\pi}{15}.

Exercițiul 6

Rotirea lui y=2x+1y = 2x + 1 pe [0,2][0, 2] în jurul axei OxOx generează un trunchi de con cu volumul:
  1. A. 5π5\pi
  2. B. 14π14\pi
  3. C. 62π3\dfrac{62\pi}{3}
  4. D. 623\dfrac{62}{3}
Rezolvare

Răspuns corect: C. 62π3\dfrac{62\pi}{3}

V=π∫02(4x2+4x+1) dx=π ⁣[4x33+2x2+x]02=π ⁣(323+8+2)=π⋅32+303=62π3V = \pi \int_0^2 (4x^2 + 4x + 1) \, dx = \pi\!\left[\dfrac{4x^3}{3} + 2x^2 + x\right]_0^2 = \pi\!\left(\dfrac{32}{3} + 8 + 2\right) = \pi \cdot \dfrac{32 + 30}{3} = \dfrac{62\pi}{3}.
Încă 4 exerciții cu volumul corpurilor de rotație în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 12-a