pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu ecuații trigonometrice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu ecuații trigonometrice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de ecuații trigonometrice.

Exercițiul 1

Pe [0,2π)[0, 2\pi), ecuația sin⁡x=12\sin x = \dfrac{1}{2} are exact:
  1. A. 11 soluție
  2. B. 22 soluții
  3. C. 33 soluții
  4. D. 44 soluții
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22 soluții

x=π/6x = \pi/6 și x=π−π/6=5π/6x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6. Două soluții.

Exercițiul 2

Soluția generală a ecuației tg⁡x=1\tg x = 1 este:
  1. A. x=π/4+2kπx = \pi/4 + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}
  2. B. x=π/4+kπx = \pi/4 + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}
  3. C. x=±π/4+2kπx = \pm \pi/4 + 2k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}
  4. D. x=π/4x = \pi/4
Rezolvare

Răspuns corect: B. x=π/4+kπx = \pi/4 + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}

arctg⁡(1)=π/4\arctg(1) = \pi/4. Soluția generală: x=π/4+kπx = \pi/4 + k\pi pentru orice întreg kk.

Exercițiul 3

Pe [0,2π)[0, 2\pi), ecuația 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 are câte soluții?
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33

2u2−u−1=(2u+1)(u−1)=0⇒u=−1/22u^2 - u - 1 = (2u + 1)(u - 1) = 0 \Rightarrow u = -1/2 sau u=1u = 1. sin⁡x=−1/2\sin x = -1/2: 2 soluții (7π/6,11π/67\pi/6, 11\pi/6). sin⁡x=1\sin x = 1: 1 soluție (π/2\pi/2). Total: 33.

Exercițiul 4

Pe [0,2π)[0, 2\pi), ecuația sin⁡2x=0\sin 2x = 0 are exact:
  1. A. 11 soluție
  2. B. 22 soluții
  3. C. 33 soluții
  4. D. 44 soluții
Rezolvare

Răspuns corect: D. 44 soluții

2x=kπ⇒x=kπ/22x = k\pi \Rightarrow x = k\pi/2. Pe [0,2π)[0, 2\pi): 0,π/2,π,3π/20, \pi/2, \pi, 3\pi/2. Patru soluții.

Exercițiul 5

Valoarea maximă a funcției f(x)=sin⁡x+3cos⁡xf(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x este:
  1. A. 1+31 + \sqrt{3}
  2. B. 22
  3. C. 3\sqrt{3}
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: B. 22

R=1+3=2R = \sqrt{1 + 3} = 2, deci f(x)=2sin⁡(x+π/3)f(x) = 2\sin(x + \pi/3). Valoarea maximă: 22.

Exercițiul 6

Pe [0,2π)[0, 2\pi), ecuația cos⁡2x+cos⁡x=0\cos 2x + \cos x = 0 are exact:
  1. A. 11 soluție
  2. B. 22 soluții
  3. C. 33 soluții
  4. D. 44 soluții
Rezolvare

Răspuns corect: C. 33 soluții

2cos⁡2x+cos⁡x−1=0⇒(2cos⁡x−1)(cos⁡x+1)=02\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \Rightarrow (2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0. cos⁡x=1/2\cos x = 1/2: 2 soluții (π/3,5π/3\pi/3, 5\pi/3). cos⁡x=−1\cos x = -1: 1 soluție (π\pi). Total: 33.
Încă 4 exerciții cu ecuații trigonometrice în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a