PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Ecuații trigonometrice — formule și soluții generale

Ecuațiile trigonometrice se reduc la patru forme fundamentale: sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=a\cos x = a, tg⁡x=a\tg x = a, ctg⁡x=a\ctg x = a. Fiecare are o soluție generală cu un parametru întreg kk, care descrie toate valorile lui xx care satisfac ecuația. Mai jos găsești soluțiile generale, tehnicile pentru ecuațiile reductibile (substituție, transformare în pătrat, descompunere) și formula pentru ecuațiile de forma asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c.

Descarcă tabelul

Tabel ecuații trigonometrice (PDF)

Ecuații fundamentale și soluțiile generale

Cele patru forme de bază. În toate formulele, kk este un parametru întreg, k∈Zk \in \mathbb{Z}, care indexează toate soluțiile.
  • sin⁡x=a\sin x = acondiție: ∣a∣≤1|a| \leq 1; fără soluții dacă ∣a∣>1|a| > 1
    x=(−1)karcsin⁡a+kπ,k∈Zx = (-1)^k \arcsin a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • cos⁡x=a\cos x = acondiție: ∣a∣≤1|a| \leq 1; fără soluții dacă ∣a∣>1|a| > 1
    x=±arccos⁡a+2kπ,k∈Zx = \pm \arccos a + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • tg⁡x=a\tg x = acondiție: a∈Ra \in \mathbb{R}
    x=arctg⁡a+kπ,k∈Zx = \arctg a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • ctg⁡x=a\ctg x = acondiție: a∈Ra \in \mathbb{R}
    x=arcctg⁡a+kπ,k∈Zx = \arcctg a + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}

Cazuri particulare — valori esențiale

Pentru valori uzuale ale lui aa, soluțiile au formă compactă. Memorează aceste cazuri și nu mai apelezi la formula generală decât când aa e o constantă neobișnuită.
  • sin⁡x=0\sin x = 0
    x=kπ,k∈Zx = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • sin⁡x=1\sin x = 1
    x=π2+2kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • sin⁡x=−1\sin x = -1
    x=−π2+2kπ,k∈Zx = -\frac{\pi}{2} + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • cos⁡x=0\cos x = 0
    x=π2+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{2} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • cos⁡x=1\cos x = 1
    x=2kπ,k∈Zx = 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • cos⁡x=−1\cos x = -1
    x=π+2kπ,k∈Zx = \pi + 2 k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • tg⁡x=0\tg x = 0
    x=kπ,k∈Zx = k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}
  • tg⁡x=1\tg x = 1
    x=π4+kπ,k∈Zx = \frac{\pi}{4} + k \pi,\quad k \in \mathbb{Z}

Ecuații echivalente

Două ecuații trigonometrice cu aceeași funcție și aceeași bază au soluții comparabile direct, fără să dezvolți formula generală.
  • sin⁡f(x)=sin⁡g(x)\sin f(x) = \sin g(x)condiție: k∈Zk \in \mathbb{Z} — două serii de soluții
    f(x)=g(x)+2kπ sau f(x)=π−g(x)+2kπf(x) = g(x) + 2 k \pi \text{ sau } f(x) = \pi - g(x) + 2 k \pi
  • cos⁡f(x)=cos⁡g(x)\cos f(x) = \cos g(x)condiție: k∈Zk \in \mathbb{Z} — două serii de soluții
    f(x)=±g(x)+2kπf(x) = \pm g(x) + 2 k \pi
  • tg⁡f(x)=tg⁡g(x)\tg f(x) = \tg g(x)condiție: k∈Zk \in \mathbb{Z}
    f(x)=g(x)+kπf(x) = g(x) + k \pi

Ecuații reductibile — tehnici uzuale

Trei tipare apar pe aproape orice ecuație trigonometrică complicată: substituție, descompunere și transformarea asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x în formă cu un singur sinus.
  • Substituția t=sin⁡xt = \sin x (sau cos⁡x\cos x, tg⁡x\tg x)condiție: verifici după rezolvare că ∣t∣≤1|t| \leq 1 pentru sin/cos
    asin⁡2x+bsin⁡x+c=0⇒t=sin⁡x, at2+bt+c=0a \sin^2 x + b \sin x + c = 0 \Rightarrow t = \sin x,\ a t^2 + b t + c = 0
  • Ecuația asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = ccondiție: tg⁡φ=b/a\tg \varphi = b/a; ecuație echivalentă cu sin⁡(x+φ)=c/a2+b2\sin(x + \varphi) = c/\sqrt{a^2 + b^2}
    asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2⋅sin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi)
  • Condiție de solubilitate
    asin⁡x+bcos⁡x=c are soluție  ⟺  a2+b2≥c2a \sin x + b \cos x = c \text{ are soluție} \iff a^2 + b^2 \geq c^2
  • Descompunere prin formule de transformarecondiție: transformare sumă →\to produs — utilă când vrei să factorizezi
    sin⁡u+sin⁡v=2sin⁡u+v2cos⁡u−v2\sin u + \sin v = 2 \sin \frac{u + v}{2} \cos \frac{u - v}{2}
  • Ecuație omogenă în sin⁡x\sin x și cos⁡x\cos xcondiție: verifici separat dacă cos⁡x=0\cos x = 0 e soluție
    asin⁡2x+bsin⁡xcos⁡x+ccos⁡2x=0⇒ıˆmparți cu cos⁡2x, obții ecuație ıˆn tg⁡xa \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 \Rightarrow \text{împarți cu } \cos^2 x,\ \text{obții ecuație în } \tg x
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, ecuațiile trigonometrice apar pe aproximativ 25–35% din variantele Vară, de obicei la Subiectul I problema 3 sau Subiectul II — fie ecuații fundamentale ($\sin x = a$, $\cos x = a$) pe un interval dat, fie ecuații reductibile prin substituție $t = \sin x$ sau prin formule de transformare. Cele patru forme fundamentale plus tehnica omogenizării acoperă majoritatea problemelor.

Întrebări frecvente despre ecuații trigonometrice

Care este soluția generală pentru sin⁡x=a\sin x = a?

x = (-1)^k · arcsin a + k·π, cu k întreg. Formula combină cele două serii distincte de soluții: când k e par, soluțiile sunt arcsin a + 2k·π (în primul cadran și echivalenții); când k e impar, soluțiile sunt π - arcsin a + 2k·π (în al doilea cadran și echivalenții). Condiția de existență: |a| ≤ 1, altfel ecuația nu are soluție.

De ce cos⁡x=a\cos x = a are soluție ±arccos⁡a+2kπ\pm \arccos a + 2k\pi?

Funcția cosinus e pară (cos(-x) = cos x), deci dacă arccos a este soluție, atunci -arccos a este și el soluție. Adăugând periodicitatea 2π, obținem familia ±arccos a + 2k·π. Cele două semne acoperă soluțiile din primul și al patrulea cadran (sau dacă a este negativ, din al doilea și al treilea).

Cum rezolv ecuația asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c?

Transformi membrul stâng într-un singur sinus folosind formula a·sin x + b·cos x = sqrt(a²+b²) · sin(x + φ), unde tg φ = b/a. Ecuația devine sqrt(a²+b²) · sin(x + φ) = c, adică sin(x + φ) = c / sqrt(a²+b²). Condiția de existență: |c| ≤ sqrt(a²+b²), adică a² + b² ≥ c². Dacă e îndeplinită, aplici formula pentru sin = constantă.

Cum tratez o ecuație de forma sin⁡2x+sin⁡x−1=0\sin^2 x + \sin x - 1 = 0?

Substituie t = sin x. Ecuația devine t² + t - 1 = 0, o ecuație pătratică în t. O rezolvi cu formula discriminantului, obținând t_1 și t_2. Apoi pentru fiecare soluție t_i verifici dacă |t_i| ≤ 1 (altfel sin x = t_i nu are soluție) și aplici formula fundamentală sin x = t_i. La final, combini toate soluțiile.

Ce înseamnă o ecuație omogenă în sin⁡x\sin x și cos⁡x\cos x?

O ecuație în care toți termenii au același grad total în sin x și cos x (de exemplu, a·sin²x + b·sin x cos x + c·cos²x = 0 e omogenă de grad 2). Tehnica: împarți toată ecuația cu cos^n x (n = gradul), obținând o ecuație polinomială în tg x. Atenție: verifici separat dacă cos x = 0 este soluție (cazul exclus de împărțire) — uneori e, alteori nu.

Cum afectează parametrul kk numărul de soluții într-un interval?

Soluția generală e parametrizată prin k întreg, deci sunt infinit de multe soluții pe R. La BAC, ți se cere de obicei soluțiile dintr-un interval specific (de exemplu [0, 2π] sau [-π, π]). Substitui valorile lui k care încadrează x în interval, una câte una, și aduni soluțiile. Pentru sin/cos cu perioada 2π, vor fi maximum 2 soluții pe orice interval de lungime 2π.

Pe ce subiecte BAC apar ecuațiile trigonometrice?

La M1 mate-info, ecuațiile trigonometrice apar uneori la Subiectul I problema 3 sau ca parte a Subiectului II — de obicei ecuații reductibile la o substituție sau sin/cos = constantă pe un interval dat. Pe ultimii cinci ani, aproximativ 25-35% din variantele mate-info Vară au cerință trigonometrică explicită. Cele patru ecuații fundamentale + tehnica substituției rezolvă majoritatea problemelor de BAC.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.