pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu identități trigonometrice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu identități trigonometrice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de identități trigonometrice.

Exercițiul 1

Valoarea lui sin⁡π3\sin\dfrac{\pi}{3} este:
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} — o valoare remarcabilă de pe cercul trigonometric.

Exercițiul 2

Dat x∈ ⁣(π2,π)x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right) și sin⁡x=45\sin x = \dfrac{4}{5}, calculați sin⁡2x\sin 2x.
  1. A. −2425-\dfrac{24}{25}
  2. B. −725-\dfrac{7}{25}
  3. C. 725\dfrac{7}{25}
  4. D. 2425\dfrac{24}{25}
Rezolvare

Răspuns corect: A. −2425-\dfrac{24}{25}

Deoarece x∈ ⁣(π2,π)x \in \!\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right), cos⁡x<0\cos x < 0. Din sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1: cos⁡2x=1−1625=925\cos^2 x = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}, deci cos⁡x=−35\cos x = -\dfrac{3}{5}. Atunci sin⁡2x=2⋅45⋅ ⁣(−35)=−2425\sin 2x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \!\left(-\dfrac{3}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}.

Exercițiul 3

Dacă sin⁡x+cos⁡x=12\sin x + \cos x = \dfrac{1}{2}, atunci sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x este egal cu:
  1. A. −38-\dfrac{3}{8}
  2. B. −18-\dfrac{1}{8}
  3. C. 18\dfrac{1}{8}
  4. D. 38\dfrac{3}{8}
Rezolvare

Răspuns corect: A. −38-\dfrac{3}{8}

(sin⁡x+cos⁡x)2=14(\sin x + \cos x)^2 = \dfrac{1}{4}. Dezvoltând: sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=14\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \dfrac{1}{4}, deci 1+2sin⁡xcos⁡x=141 + 2\sin x \cos x = \dfrac{1}{4}. Prin urmare sin⁡xcos⁡x=−38\sin x \cos x = -\dfrac{3}{8}.

Exercițiul 4

Calculați sin⁡75∘+sin⁡15∘\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}.
  1. A. 12\dfrac{1}{2}
  2. B. 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  3. C. 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}
  4. D. 11
Rezolvare

Răspuns corect: C. 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}

sin⁡75∘+sin⁡15∘=2sin⁡90∘2cos⁡60∘2=2sin⁡45∘cos⁡30∘=2⋅22⋅32=62\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ} = 2\sin\dfrac{90^{\circ}}{2}\cos\dfrac{60^{\circ}}{2} = 2 \sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}{2} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{2} = \dfrac{\sqrt 6}{2}.

Exercițiul 5

Numărul de soluții ale ecuației sin⁡2x=3 cos⁡x\sin 2x = \sqrt{3}\,\cos x pe [0,2π)[0, 2\pi) este:
  1. A. 22
  2. B. 33
  3. C. 44
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

2sin⁡xcos⁡x−3cos⁡x=0⇒cos⁡x (2sin⁡x−3)=02\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \Rightarrow \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0. - cos⁡x=0⇒x∈ ⁣{π2,3π2}\cos x = 0 \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right\} - sin⁡x=32⇒x∈ ⁣{π3,2π3}\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x \in \!\left\{\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right\} Total: 44 soluții pe [0,2π)[0, 2\pi).

Exercițiul 6

Valoarea maximă a funcției f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x pe R\mathbb{R} este:
  1. A. 11
  2. B. 2−1\sqrt{2} - 1
  3. C. 2\sqrt{2}
  4. D. 22
Rezolvare

Răspuns corect: C. 2\sqrt{2}

sin⁡x+cos⁡x=2 ⁣(sin⁡x⋅22+cos⁡x⋅22)=2sin⁡ ⁣(x+π4)\sin x + \cos x = \sqrt{2}\!\left(\sin x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right). Deoarece sinusul are maximul 11, valoarea maximă a lui ff este 2\sqrt{2}, atinsă pentru x=π4x = \dfrac{\pi}{4}.
Încă 4 exerciții cu identități trigonometrice în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a