pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Exerciții rezolvate cu progresii aritmetice — clasa a 9-a

Pe această pagină găsești 10 exerciții rezolvate cu progresii aritmetice pentru clasa a 9-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de progresii aritmetice.

Exercițiul 1

În progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1}, a2=7a_2 = 7 și a5=16a_5 = 16. Determinați a1a_1.
  1. A. 33
  2. B. 44
  3. C. 55
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: B. 44

r=16−73=3r = \dfrac{16 - 7}{3} = 3, deci a1=a2−r=7−3=4a_1 = a_2 - r = 7 - 3 = 4.

Exercițiul 2

Calculați suma primilor 2020 termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} cu a1=2a_1 = 2 și r=3r = 3.
  1. A. 560560
  2. B. 590590
  3. C. 610610
  4. D. 620620
Rezolvare

Răspuns corect: C. 610610

S20=20 (2⋅2+19⋅3)2=20⋅612=10⋅61=610S_{20} = \dfrac{20\,(2 \cdot 2 + 19 \cdot 3)}{2} = \dfrac{20 \cdot 61}{2} = 10 \cdot 61 = 610.

Exercițiul 3

Într-o progresie aritmetică cu a1=3a_1 = 3 și r=4r = 4, termenul an=47a_n = 47. Determinați nn.
  1. A. 1010
  2. B. 1111
  3. C. 1212
  4. D. 1313
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1212

47=3+(n−1)⋅4⇒(n−1)⋅4=44⇒n−1=11⇒n=1247 = 3 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow (n-1) \cdot 4 = 44 \Rightarrow n - 1 = 11 \Rightarrow n = 12.

Exercițiul 4

Numerele x−2x - 2, 55, x+4x + 4 sunt în progresie aritmetică (în această ordine). Determinați xx.
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 44
  4. D. 77
Rezolvare

Răspuns corect: C. 44

5=(x−2)+(x+4)2⇒10=2x+2⇒x=45 = \dfrac{(x - 2) + (x + 4)}{2} \Rightarrow 10 = 2x + 2 \Rightarrow x = 4.

Exercițiul 5

Trei numere în progresie aritmetică au suma 1515, iar suma pătratelor lor este 8383. Cel mai mare dintre ele este:
  1. A. 55
  2. B. 66
  3. C. 77
  4. D. 88
Rezolvare

Răspuns corect: C. 77

Notăm termenii 5−r, 5, 5+r5 - r,\, 5,\, 5 + r. Atunci (5−r)2+25+(5+r)2=50+2r2+25=83(5-r)^2 + 25 + (5+r)^2 = 50 + 2r^2 + 25 = 83, deci 2r2=8⇒r=22r^2 = 8 \Rightarrow r = 2. Termenul cel mai mare este 5+2=75 + 2 = 7.

Exercițiul 6

Pentru o progresie aritmetică cu a1=5a_1 = 5 și r=3r = 3, găsiți cel mai mic nn astfel încât Sn≥500S_n \ge 500.
  1. A. 1616
  2. B. 1717
  3. C. 1818
  4. D. 1919
Rezolvare

Răspuns corect: C. 1818

Sn=n(3n+7)2S_n = \dfrac{n(3n + 7)}{2}. Calculăm: S17=17⋅582=493<500S_{17} = \dfrac{17 \cdot 58}{2} = 493 < 500 și S18=18⋅612=549≥500S_{18} = \dfrac{18 \cdot 61}{2} = 549 \ge 500. Deci cel mai mic nn este 1818.
Încă 4 exerciții cu progresii aritmetice în aplicațieCalibrate la nivelul tău, nu la al manualului.← Toate exercițiile de clasa a 9-a