PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1 și clasa a IX-a

Progresii aritmetice și geometrice — formule și tehnici

Cele două tipuri de progresii — aritmetică (cu rația rr, adunată) și geometrică (cu rația qq, înmulțită) — au exact aceeași structură: definiție prin recurență, formulă pentru termenul general și formulă pentru suma primilor nn termeni. Mai jos găsești toate formulele, plus tehnica „trei termeni consecutivi” care apare pe BAC și suma infinită a unei progresii geometrice subunitare (cea care face ca 0,9‾=10{,}\overline{9} = 1).

Descarcă tabelul

Tabel progresii aritmetice și geometrice (PDF)

Progresie aritmetică — definiție și termen general

O progresie aritmetică este un șir în care fiecare termen se obține adunând o constantă (rația rr) la termenul anterior. Notația standard: (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu a1a_1 primul termen și rr rația.
  • Definiția prin recurențăcondiție: r∈Rr \in \mathbb{R} — rația, constantă pentru toți nn
    an+1−an=ra_{n+1} - a_n = r
  • Termenul generalcondiție: exprimă orice termen în funcție de a1a_1 și rr
    an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n - 1) \cdot r
  • Termen general în funcție de un termen oarecare
    an=am+(n−m)⋅ra_n = a_m + (n - m) \cdot r
  • Termenul de mijloc — trei termeni consecutivicondiție: echivalent: an=an−1+an+12a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}
    2an=an−1+an+12 a_n = a_{n-1} + a_{n+1}
  • Caracterizare prin trei termeni
    a,b,c ıˆn PA  ⟺  b=a+c2a, b, c \text{ în PA} \iff b = \frac{a + c}{2}

Progresie aritmetică — suma primilor $n$ termeni

Trucul lui Gauss: suma primilor și ultimului termen e mereu aceeași, iar perechile sunt n/2n/2. De aici toate variantele formulei.
  • Suma — varianta cu primul și ultimul termen
    Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
  • Suma — varianta cu a1a_1 și rațiacondiție: utilă când nu ai ana_n calculat
    Sn=(2a1+(n−1)r)⋅n2S_n = \frac{\bigl(2 a_1 + (n - 1) r\bigr) \cdot n}{2}
  • Suma primelor nn numere naturalecondiție: caz particular cu a1=1a_1 = 1, r=1r = 1
    1+2+3+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
  • Suma primelor nn numere imparecondiție: PA cu a1=1a_1 = 1, r=2r = 2
    1+3+5+⋯+(2n−1)=n21 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2

Progresie geometrică — definiție și termen general

O progresie geometrică este un șir în care fiecare termen se obține înmulțind o constantă (rația qq) cu termenul anterior. Pentru a avea sens, niciun termen nu poate fi zero — deci a1≠0a_1 \neq 0 și q≠0q \neq 0.
  • Definiția prin recurențăcondiție: q≠0q \neq 0 și an≠0a_n \neq 0 pentru toți nn
    an+1an=q\frac{a_{n+1}}{a_n} = q
  • Termenul general
    an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}
  • Termen general în funcție de un termen oarecare
    an=am⋅qn−ma_n = a_m \cdot q^{n - m}
  • Termenul de mijloc — trei termeni consecutivicondiție: pentru termeni de același semn: an=an−1⋅an+1a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}}
    an2=an−1⋅an+1a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}
  • Caracterizare prin trei termenicondiție: aa, cc de același semn pentru ca bb să fie real
    a,b,c ıˆn PG  ⟺  b2=a⋅ca, b, c \text{ în PG} \iff b^2 = a \cdot c

Progresie geometrică — suma primilor $n$ termeni

Pentru sumă, totul depinde dacă rația este 1 sau diferită de 1. Pentru ∣q∣<1|q| < 1 există și suma infinită — formula care apare în limite și serii.
  • Suma — caz generalcondiție: q≠1q \neq 1
    Sn=a1⋅qn−1q−1S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
  • Suma — caz q=1q = 1condiție: q=1q = 1 — toți termenii sunt a1a_1
    Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1
  • Suma infinită — progresie geometrică subunitarăcondiție: ∣q∣<1|q| < 1 — singurul caz în care suma converge
    S∞=a11−qS_\infty = \frac{a_1}{1 - q}
  • Formă utilă cu ana_ncondiție: q≠1q \neq 1 — derivă direct din formula generală
    Sn=an⋅q−a1q−1S_n = \frac{a_n \cdot q - a_1}{q - 1}

Tehnici uzuale — trei termeni consecutivi și recurențe

Două tipare apar pe aproape orice problemă cu progresii: alegerea convenabilă a notației pentru trei termeni consecutivi și recunoașterea unei recurențe lineare ca PA sau PG.
  • Trei termeni în PA — notație convenabilăcondiție: suma celor trei termeni este 3a3a, ușor de exploatat
    a−r,a,a+ra - r,\quad a,\quad a + r
  • Trei termeni în PG — notație convenabilăcondiție: produsul celor trei termeni este a3a^3
    aq,a,a⋅q\frac{a}{q},\quad a,\quad a \cdot q
  • Recurență lineară →\to PAcondiție: orice șir cu această recurență e o PA cu rația rr
    an+1=an+ra_{n+1} = a_n + r
  • Recurență lineară →\to PGcondiție: a1≠0a_1 \neq 0 — orice șir cu această recurență e o PG cu rația qq
    an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q
  • Număr zecimal periodic ca PG infinităcondiție: perioada are kk cifre ⇒\Rightarrow numitor cu kk de 9
    0,abc‾=abc999=∑n=1∞abc103n0{,}\overline{abc} = \frac{abc}{999} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{abc}{10^{3n}}
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică, progresiile apar mai rar decât derivatele sau integralele — aproximativ 30–40% din variantele mate-info Vară au o cerință explicită cu PA sau PG, de obicei la Subiectul I problema 3 sau 4. Apar sistematic pe profilul șt-nat și tehnologic. Audiența principală a acestor formule este însă clasa a IX-a–a X-a, unde progresiile sunt subiect central al algebrei și apar pe fiecare lucrare semestrială.

Întrebări frecvente despre progresii aritmetice și geometrice

Care este diferența între progresia aritmetică și cea geometrică?

Diferă prin operația care leagă termenii consecutivi. La progresia aritmetică, fiecare termen se obține adunând o constantă (rația r) la cel anterior — termenii cresc sau scad liniar. La progresia geometrică, fiecare termen se obține înmulțind cu o constantă (rația q) — termenii cresc sau scad exponențial. Formula termenului general reflectă această diferență: a_n = a_1 + (n-1)r pentru PA, a_n = a_1 · q^(n-1) pentru PG.

Cum recunosc o progresie aritmetică dintr-un enunț?

Caută indicii cu adunare repetată: 'fiecare termen este cu k mai mare decât precedentul', 'creșterea este constantă', sau o secvență concretă unde diferența a_(n+1) - a_n este aceeași pentru toți n. Verifică numeric pe trei termeni: dacă a_2 - a_1 = a_3 - a_2, e PA. Pe BAC, enunțul îți spune direct 'progresie aritmetică' și-ți dă două dintre {a_1, r, n, a_n, S_n}; restul derivă din formule.

Când este finită suma unei progresii geometrice infinite?

Doar când |q| < 1 (rația în modul subunitar). În acest caz suma este S_∞ = a_1 / (1 - q). Dacă |q| ≥ 1, suma divergă: pentru q > 1 termenii cresc nelimitat, pentru q = 1 toți termenii sunt egali și suma e infinită, pentru q ≤ -1 termenii oscilează fără să se stabilizeze. Exemplul clasic e 0,(9) = 9/10 + 9/100 + ... = 9/10 / (1 - 1/10) = 1.

Cum scriu cei mai convenabil trei termeni consecutivi?

Pentru PA: a-r, a, a+r — astfel suma celor trei termeni este 3a, iar termenul de mijloc se izolează imediat. Pentru PG: a/q, a, a·q — astfel produsul celor trei termeni este a³, iar termenul de mijloc se află prin √[3]{produs}. Aceste notații reduc două necunoscute (cei trei termeni) la una singură (a) plus rația.

Care e formula pentru suma 1+2+3+⋯+n1 + 2 + 3 + \dots + n?

S = n(n+1)/2. E un caz particular al sumei unei PA cu a_1 = 1 și rația r = 1. Aplici formula generală S_n = (a_1 + a_n)·n/2 cu a_n = n și obții direct. Variante utile: 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n² (suma primelor n impare), 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n+1) (primele n pare).

Există progresii cu numere negative?

Da, pentru ambele tipuri. La PA, rația r poate fi negativă — termenii descresc liniar (de exemplu 10, 7, 4, 1, -2, ... cu r = -3). La PG, rația q poate fi negativă, dar atunci termenii alternează semnul (de exemplu 2, -4, 8, -16, ... cu q = -2). Restricția pentru PG e doar q ≠ 0 și a_1 ≠ 0, nu pe semn.

Pe ce subiecte BAC apar progresiile?

La M1 mate-info, progresiile apar ocazional la Subiectul I problema 3 sau 4 — cerință scurtă cu suma unei PA sau un termen al unei PG. Nu sunt pe fiecare variantă (apar pe ~30-40% din mate-info Vară), dar sunt centrale în clasa a IX-a și apar des în testele de progresie școlară. Pentru BAC, formula termenului general și suma primilor n termeni acoperă tot ce ai nevoie.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.