pbmatepbmatePrețuriAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Autentificare

Platforma de matematică pentru clasele 5–12: probleme noi în fiecare zi, ajustate pentru nivelul tău — cu soluții complete, pas cu pas, până la BAC M1 și Evaluarea Națională. Sub 20 RON pe săptămână.

Ești profesor?

Clasa a 10-a

Exerciții rezolvate cu binomul lui newton — clasa a 10-a

Pe această pagină găsești 84 exerciții rezolvate cu binomul lui newton pentru clasa a 10-a, fiecare cu rezolvare completă, pas cu pas, în stilul baremului oficial de BAC. Sunt probleme tipice de examen și de teză, alese ca să exersezi eficient și să înțelegi unde apar cele mai frecvente greșeli. Ai nevoie de formule? Vezi tabelul de binomul lui newton.

Binomul lui Newton #1

Dezvoltarea lui (a+b)2(a + b)^2 este:
  1. A. a2+b2a^2 + b^2
  2. B. a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2
  3. C. a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2
  4. D. 2(a+b)2(a + b)
Rezolvare

Răspuns corect: C. a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2

Binomul lui Newton dă (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Binomul lui Newton #2

În dezvoltarea lui (x+1)4(x + 1)^4, coeficientul lui x2x^2 este:
  1. A. 22
  2. B. 44
  3. C. 66
  4. D. 1212
Rezolvare

Răspuns corect: C. 66

Coeficientul lui x2x^2 corespunde lui k=2k = 2: C42=6C_{4}^{2} = 6.

Binomul lui Newton #3

Termenul general Tk+1T_{k+1} din dezvoltarea lui (2x+3)n(2x + 3)^n este:
  1. A. Cnk2kxk3n−kC_{n}^{k} 2^k x^k 3^{n-k}
  2. B. Cnk2n−kxn−k3n−kC_{n}^{k} 2^{n-k} x^{n-k} 3^{n-k}
  3. C. Cnk(2x)n−k3kC_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k
  4. D. Cnk2k3n−kxn−kC_{n}^{k} 2^k 3^{n-k} x^{n-k}
Rezolvare

Răspuns corect: C. Cnk(2x)n−k3kC_{n}^{k} (2x)^{n-k} 3^k

Cu a=2xa = 2x și b=3b = 3: Tk+1=Cnk(2x)n−k3kT_{k+1} = C_{n}^{k}(2x)^{n-k} 3^k.

Binomul lui Newton #4

Coeficientul lui x3x^3 în (x+2)5(x + 2)^5 este:
  1. A. 2020
  2. B. 3232
  3. C. 4040
  4. D. 8080
Rezolvare

Răspuns corect: C. 4040

5−k=3⇒k=25 - k = 3 \Rightarrow k = 2. Coeficient: C52⋅22=10⋅4=40C_{5}^{2} \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40.

Binomul lui Newton #5

Suma tuturor coeficienților binomiali din (x+1)10(x + 1)^{10} este:
  1. A. 1010
  2. B. 100100
  3. C. 10241024
  4. D. 20482048
Rezolvare

Răspuns corect: C. 10241024

Suma coeficienților unui polinom P(x)P(x) este P(1)P(1). Deci ∑k=010C10k=(1+1)10=210=1024\sum_{k=0}^{10}C_{10}^{k} = (1 + 1)^{10} = 2^{10} = 1024.

Binomul lui Newton #6

Valoarea lui C60−C61+C62−⋯+C66C_{6}^{0} - C_{6}^{1} + C_{6}^{2} - \cdots + C_{6}^{6} este:
  1. A. 00
  2. B. 11
  3. C. 3232
  4. D. 6464
Rezolvare

Răspuns corect: A. 00

∑k=06(−1)kC6k=(1−1)6=0\sum_{k=0}^{6}(-1)^k C_{6}^{k} = (1 - 1)^6 = 0.

Binomul lui Newton #7

În dezvoltarea lui  ⁣(x+1x)6\!\left(\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right)^{6}, numărul termenilor raționali (adică cu putere întreagă a lui xx) este:
  1. A. 11
  2. B. 22
  3. C. 33
  4. D. 44
Rezolvare

Răspuns corect: D. 44

Exponentul 6−3k2\dfrac{6 - 3k}{2} este întreg când kk este par: k∈{0,2,4,6}k \in \{0, 2, 4, 6\} — patru valori.

Binomul lui Newton #8

Determinați n∈N∗n \in \mathbb{N}^* pentru care dezvoltarea binomială (1+x)n(1 + x)^n are 1111 termeni.
  1. A. 99
  2. B. 1010
  3. C. 1111
  4. D. 1212
Rezolvare

Răspuns corect: B. 1010

n+1=11⇒n=10n + 1 = 11 \Rightarrow n = 10.

Binomul lui Newton #9

Termenul din mijloc al dezvoltării lui (x+1)8(x + 1)^8 are coeficientul:
  1. A. 2828
  2. B. 5656
  3. C. 7070
  4. D. 128128
Rezolvare

Răspuns corect: C. 7070

Coeficientul din mijloc: C84=70C_{8}^{4} = 70.

Binomul lui Newton #10

Fie dezvoltarea (1+x)n(1+x)^n. Știind că suma coeficienților binomiali de rang par, Cn0+Cn2+Cn4+⋯=512,C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots = 512, valoarea lui nn este:
  1. A. 99
  2. B. 88
  3. C. 1111
  4. D. 1010
Rezolvare

Răspuns corect: D. 1010

Din binomul lui Newton: (1+1)n=Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n,(1+1)^n = C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdots+C_n^n = 2^n, (1−1)n=Cn0−Cn1+Cn2−⋯±Cnn=0.(1-1)^n = C_n^0-C_n^1+C_n^2-\cdots\pm C_n^n = 0. Adunăm cele două relații: termenii de rang impar se anulează, iar cei de rang par se dublează: 2(Cn0+Cn2+Cn4+⋯ )=2n  ⟹  Cn0+Cn2+Cn4+⋯=2n−1.2\left(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots\right) = 2^n \implies C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots = 2^{n-1}. Punem condiția din enunț: 2n−1=512=29  ⟹  n−1=9  ⟹  n=10.2^{n-1}=512=2^9 \implies n-1=9 \implies n=10. Verificare directă pentru n=10n=10: C100+C102+C104+C106+C108+C1010=1+45+210+210+45+1=512C_{10}^0+C_{10}^2+C_{10}^4+C_{10}^6+C_{10}^8+C_{10}^{10} = 1+45+210+210+45+1 = 512. ✓

Binomul lui Newton #11

Numărul natural nn verifică egalitatea Cn3=Cn5\binom{n}{3} = \binom{n}{5}. Valoarea lui Cn4\binom{n}{4} este:
  1. A. 5656
  2. B. 7070
  3. C. 2828
  4. D. 8484
Rezolvare

Răspuns corect: B. 7070

Din Cn3=Cn5\binom{n}{3} = \binom{n}{5} și proprietatea Cnk=Cnn−k\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} rezultă n−3=5n - 3 = 5, deci n=8n = 8. Verificare: C83=C85=56\binom{8}{3} = \binom{8}{5} = 56 ✓. Cn4=C84=8!4!⋅4!=70.\binom{n}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!\cdot 4!} = 70.

Binomul lui Newton #12

Se știe că în dezvoltarea expresiei (2x3+1x2)n\left(\dfrac{2x^3+1}{x^2}\right)^n coeficienții termenilor T3T_3 și T4T_4 sunt egali. Valoarea lui nn este:
  1. A. 66
  2. B. 88
  3. C. 1010
  4. D. 55
Rezolvare

Răspuns corect: B. 88

Pasul 1 — desparte fracția. 2x3+1x2=2x+1x2.\frac{2x^3+1}{x^2} = 2x + \frac{1}{x^2}. **Pasul 2 — termenul general al lui (2x+1x2)n\left(2x + \dfrac{1}{x^2}\right)^n.** Tk+1=Cnk(2x)n−k(1x2)k=Cnk⋅2n−k⋅xn−3k.T_{k+1} = \binom{n}{k}(2x)^{n-k}\left(\frac{1}{x^2}\right)^k = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k} \cdot x^{n-3k}. Coeficientul numeric al lui Tk+1T_{k+1} este ck=Cnk⋅2n−kc_k = \binom{n}{k} \cdot 2^{n-k}. **Pasul 3 — egalarea coeficienților T3T_3 și T4T_4.** T3 (k=2): c2=Cn2⋅2n−2.T_3 \text{ (}k=2\text{): } c_2 = \binom{n}{2} \cdot 2^{n-2}. T4 (k=3): c3=Cn3⋅2n−3.T_4 \text{ (}k=3\text{): } c_3 = \binom{n}{3} \cdot 2^{n-3}. c2=c3⇒Cn2⋅2n−2=Cn3⋅2n−3.c_2 = c_3 \Rightarrow \binom{n}{2} \cdot 2^{n-2} = \binom{n}{3} \cdot 2^{n-3}. Împărțim ambii membri prin 2n−32^{n-3}: 2Cn2=Cn3.2\binom{n}{2} = \binom{n}{3}. Pasul 4 — rezolvarea ecuației. 2⋅n(n−1)2=n(n−1)(n−2)6.2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}. n(n−1)=n(n−1)(n−2)6.n(n-1) = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}. Deoarece n≥4n \geq 4, putem împărți prin n(n−1)≠0n(n-1) \neq 0: 1=n−26⇒n−2=6⇒n=8.1 = \frac{n-2}{6} \Rightarrow n - 2 = 6 \Rightarrow n = 8. Verificare: 2C82=2⋅28=56=C832\binom{8}{2} = 2 \cdot 28 = 56 = \binom{8}{3} ✓.
În aplicațieÎncă 72 exerciții cu binomul lui newtonIntră în cont și continui direct de la binomul lui newton — nu de la zero.
Continuă în aplicație

Ești părinte? Vezi cât costă meditațiile la matematică — și alternativele.

← Toate exercițiile de clasa a 10-a