Exerciții rezolvate cu distanțe și arii — clasa a 10-a

$d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

$M = \!\left(\dfrac{10}{2},\, \dfrac{14}{2}\right) = (5, 7)$.

Baza $= 6$, înălțimea $= 4$. Aria $= \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$.

$\text{Aria} = \dfrac{1}{2}\,|1(5 - 2) + 4(2 - 1) + 7(1 - 5)| = \dfrac{1}{2}\,|3 + 4 - 28| = \dfrac{1}{2} \cdot 21 = \dfrac{21}{2}$.

$d = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

Aria $= \dfrac{1}{2}\,|1(6 - 10) + 3(10 - 2) + 5(2 - 6)| = \dfrac{1}{2}\,|-4 + 24 - 20| = 0$. Deci sunt coliniare.

Egalăm $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$. Ridicând la pătrat: $x^2 = (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$, deci $8x = 16$, $x = 2$.

$\overrightarrow{AB} = (4, 0)$ și $\overrightarrow{DC} = (4, 0)$ — același vector, deci $ABCD$ este paralelogram. Baza $= 4$, înălțimea $= 3$. Aria $= 12$.

Fie $M(0,y)$. Condiția $MA=MB$ e echivalentă cu $MA^2=MB^2$: $$(0-3)^2+(y-1)^2 = (0+1)^2+(y-5)^2.$$ Dezvoltăm: $9+y^2-2y+1 = 1+y^2-10y+25 \iff 10-2y = 26-10y \iff 8y=16 \iff y=2.$ Deci $M(0,2)$. Verificare: $MA^2=(0-3)^2+(2-1)^2=9+1=10$; $MB^2=(0+1)^2+(2-5)^2=1+9=10$ — egale. ✓

Verificăm unghiul din $A$: $\vec{AB}=(6,0)$, $\vec{AC}=(0,8)$, iar $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=6\cdot0+0\cdot8=0$ — deci $\widehat A=90°$, triunghiul e dreptunghic în $A$, iar $BC$ e ipotenuza. Proprietate cheie: centrul cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este mijlocul ipotenuzei (ipotenuza e diametru). $$O = \text{mijlocul } BC = \left(\frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}\right) = (3,4).$$ Verificare: $OA^2=3^2+4^2=25$, $OB^2=(3-6)^2+4^2=9+16=25$, $OC^2=3^2+(4-8)^2=9+16=25$ — toate egale, deci $O$ e echidistant de cele trei vârfuri. ✓ ($\left(2,\frac83\right)$ e centrul de greutate — o confuzie frecventă, nu centrul cercului circumscris.)

Fie $M(x,0)$. Condiția $MA=MB$ e echivalentă cu $MA^2=MB^2$: $$(x-1)^2+5^2 = (x-4)^2+2^2.$$ Dezvoltăm: $x^2-2x+1+25 = x^2-8x+16+4 \iff -2x+26=-8x+20 \iff 6x=-6 \iff x=-1.$ Deci $M(-1,0)$. Verificare: $MA^2=(-1-1)^2+5^2=4+25=29$; $MB^2=(-1-4)^2+2^2=25+4=29$ — egale. ✓

Recunoașterea cheie: când $t$ variază, $C(2t+1,t+4)$ se deplasează pe o dreaptă cu vector director $(2,1)$ (coeficienții lui $t$). Vectorul $\vec{AB}=(6,3)=3\cdot(2,1)$ este paralel cu această direcție — deci $C$ se mișcă mereu pe o dreaptă paralelă cu $AB$. Distanța de la $C$ la dreapta $AB$ (adică înălțimea triunghiului) rămâne așadar constantă, indiferent de $t$, deci și aria e constantă. Calculăm efectiv, cu formula determinantului: $$2\cdot\text{Aria} = \big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\big| = |6(t+4) - 3(2t+1)| = |6t+24-6t-3| = 21.$$ Parametrul $t$ dispare complet din calcul, confirmând invarianța. Aria este $\dfrac{21}2$. Verificare numerică: la $t=0$, $C(1,4)$, aria $=\dfrac12|6\cdot4-3\cdot1|=\dfrac12\cdot21=\dfrac{21}2$; la $t=5$, $C(11,9)$, aria $=\dfrac12|6\cdot9-11\cdot3|=\dfrac12|54-33|=\dfrac{21}2$ — identic. ✓