PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Geometrie · BAC M1

Formule de geometrie analitică — vectori, drepte, arii

Geometria analitică traduce probleme geometrice în calcule algebrice — un punct devine o pereche (x,y)(x, y), o dreaptă devine o ecuație. Mai jos găsești formulele pentru vectori în plan (componente, sumă, modul), produsul scalar și unghiul dintre vectori, cele patru forme de ecuație a dreptei (parametrică, generală, redusă, prin două puncte), formula distanței de la un punct la o dreaptă și formula ariei unui triunghi prin coordonate. Tot ce-ți cere BAC-ul la geometria din Subiectul I.

Descarcă tabelul

Tabel geometrie analitică (PDF)

Vectori în plan — componente și operații

Un vector în plan are două componente. Pentru AB⃗\vec{AB} cu A(xA,yA)A(x_A, y_A) și B(xB,yB)B(x_B, y_B), componentele sunt AB⃗=(xB−xA,yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A).
  • Vectorul AB⃗\vec{AB} din coordonate
    AB⃗=(xB−xA, yB−yA)\vec{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)
  • Suma a doi vectori
    u⃗+v⃗=(u1+v1, u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1,\ u_2 + v_2)
  • Produs cu un scalarcondiție: α∈R\alpha \in \mathbb{R}
    αu⃗=(αu1, αu2)\alpha \vec{u} = (\alpha u_1,\ \alpha u_2)
  • Modulul (norma)condiție: lungimea geometrică a vectorului
    ∣u⃗∣=u12+u22|\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}
  • Vectori coliniaricondiție: echivalent: există α\alpha cu u⃗=αv⃗\vec{u} = \alpha \vec{v}
    u⃗∥v⃗  ⟺  u1v1=u2v2  ⟺  u1v2−u2v1=0\vec{u} \parallel \vec{v} \iff \frac{u_1}{v_1} = \frac{u_2}{v_2} \iff u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0

Produsul scalar

Produsul scalar a doi vectori e un număr real care leagă mărimile vectorilor și unghiul dintre ei. Esențial pentru a calcula unghiuri și pentru a testa perpendicularitatea.
  • Produsul scalar din coordonate
    u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2
  • Forma geometricăcondiție: θ\theta — unghiul dintre vectori
    u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta
  • Vectori perpendiculari
    u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0  ⟺  u1v1+u2v2=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff u_1 v_1 + u_2 v_2 = 0
  • Unghiul dintre doi vectori
    cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}
  • Modulul prin produs scalar
    ∣u⃗∣2=u⃗⋅u⃗|\vec{u}|^2 = \vec{u} \cdot \vec{u}

Ecuațiile dreptei în plan

Patru forme echivalente, alegi care e cea mai convenabilă pentru datele din enunț. Toate descriu aceeași dreaptă; treci între ele algebric.
  • Ecuația redusă (pantă-tăietură)condiție: mm — panta, nn — ordonata la origine
    y=mx+ny = m x + n
  • Ecuația generalăcondiție: a,ba, b nu sunt simultan zero; vector normal (a,b)(a, b)
    ax+by+c=0a x + b y + c = 0
  • Ecuația dreptei prin punct cu pantăcondiție: trece prin (x0,y0)(x_0, y_0) și are panta mm
    y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m (x - x_0)
  • Ecuația dreptei prin două punctecondiție: (x1,y1)≠(x2,y2)(x_1, y_1) \neq (x_2, y_2)
    x−x1x2−x1=y−y1y2−y1\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}
  • Panta dintre două punctecondiție: x1≠x2x_1 \neq x_2 (altfel dreapta e verticală, fără pantă)
    m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Poziții relative — paralele, perpendiculare

Două drepte pot fi paralele, perpendiculare sau secante. Criteriile depind de forma în care sunt scrise.
  • Drepte paralele (forma redusă)condiție: di:y=mix+nid_i: y = m_i x + n_i, n1≠n2n_1 \neq n_2 pentru drepte distincte
    d1∥d2  ⟺  m1=m2d_1 \parallel d_2 \iff m_1 = m_2
  • Drepte perpendiculare (forma redusă)
    d1⊥d2  ⟺  m1⋅m2=−1d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1
  • Drepte paralele (forma generală)
    d1:a1x+b1y+c1=0, d2:a2x+b2y+c2=0⇒d1∥d2  ⟺  a1b2−a2b1=0d_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0,\ d_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \Rightarrow d_1 \parallel d_2 \iff a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0
  • Drepte perpendiculare (forma generală)
    d1⊥d2  ⟺  a1a2+b1b2=0d_1 \perp d_2 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0

Distanțe și aria triunghiului

Formula distanței dintre două puncte derivă direct din teorema lui Pitagora. Pentru aria unui triunghi prin coordonate, există o formulă cu determinant care economisește mult timp față de Heron sau bază·înălțime.
  • Distanța dintre două puncte
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
  • Mijlocul unui segment
    M=(xA+xB2, yA+yB2)M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\ \frac{y_A + y_B}{2}\right)
  • Distanța de la punct la dreaptăcondiție: d:ax+by+c=0d: a x + b y + c = 0, P(xP,yP)P(x_P, y_P)
    d(P,d)=∣axP+byP+c∣a2+b2d(P, d) = \frac{|a x_P + b y_P + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
  • Aria unui triunghi prin coordonatecondiție: modul determinantului împărțit la 2
    A=12∣det⁡(xB−xAyB−yAxC−xAyC−yA)∣\mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A \end{pmatrix} \right|
  • Aria — forma cu determinant 3×33 \times 3
    A=12∣det⁡(xAyA1xByB1xCyC1)∣\mathcal{A} = \frac{1}{2} \left| \det \begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} \right|
  • Trei puncte coliniarecondiție: echivalent cu aria triunghiului egală cu zero
    A,B,C coliniare  ⟺  det⁡(xAyA1xByB1xCyC1)=0A, B, C \text{ coliniare} \iff \det \begin{pmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{pmatrix} = 0
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică, geometria analitică apare la Subiectul I problema 5 sau 6 (mate-info) sau ca problemă întreagă pe profilul șt-nat — cerințe scurte cu distanță între puncte, ecuație de dreaptă, mijloc de segment, aria unui triunghi prin coordonate sau verificarea coliniarității a trei puncte. Formulele de bază + formula ariei cu determinant acoperă peste 90% din probleme.

Întrebări frecvente despre geometrie analitică

Cum scriu un vector din coordonatele a două puncte?

Pentru vectorul AB cu A(x_A, y_A) și B(x_B, y_B), componentele sunt date de coordonatele extremității minus cele ale originii: vector AB = (x_B - x_A, y_B - y_A). Atenție la ordine: vector AB este de la A la B, nu invers. Vectorul opus, vector BA, are componente cu semn schimbat.

Cum verific dacă doi vectori sunt perpendiculari?

Calculezi produsul scalar — dacă rezultatul este zero, vectorii sunt perpendiculari. Pentru u = (u_1, u_2) și v = (v_1, v_2), formula este u · v = u_1·v_1 + u_2·v_2. Echivalent geometric: cos(unghi) = 0, deci unghiul este 90°. Această echivalență e cea mai folosită caracterizare a perpendicularității în geometria analitică.

Care este diferența între forma generală și forma redusă a dreptei?

Forma generală ax + by + c = 0 acoperă orice dreaptă, inclusiv cele verticale (b = 0). Forma redusă y = mx + n este o particularizare care funcționează doar pentru drepte ne-verticale (cele cu b ≠ 0 în forma generală). Treci de la forma generală la cea redusă rezolvând după y: y = -(a/b)·x - c/b, deci m = -a/b și n = -c/b. Avantajul formei reduse: panta m și ordonata la origine n se citesc direct.

Cum aflu panta unei drepte din două puncte?

Formula este m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1) — diferența ordonatelor pe diferența abscise. Funcționează atunci când x_1 ≠ x_2 (altfel dreapta e verticală și nu are pantă în sensul clasic; se scrie x = constant). Panta pozitivă înseamnă dreaptă crescătoare, panta negativă înseamnă dreaptă descrescătoare; panta zero înseamnă dreaptă orizontală.

De ce două drepte perpendiculare au panta produs −1-1?

Pentru că panta este tangenta unghiului făcut cu axa Ox. Dacă o dreaptă face unghiul α cu Ox și cealaltă face α + 90°, atunci m_1 = tg α și m_2 = tg(α + 90°) = -ctg α = -1/tg α = -1/m_1. Înmulțind: m_1 · m_2 = -1. Cazuri speciale: o dreaptă orizontală (m = 0) e perpendiculară pe cele verticale (fără pantă) — formula nu se aplică direct, dar geometria spune că sunt perpendiculare.

Care este formula ariei unui triunghi cu vârfurile date prin coordonate?

Pentru triunghi cu vârfurile A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C), aria este modulul a 1/2 din determinantul matricei (3 × 3) cu coloanele [x, y, 1]. Echivalent, poți folosi formula cu determinant 2 × 2 al vectorilor AB și AC. Această formulă e mai rapidă decât bază × înălțime / 2 atunci când nu cunoști înălțimea direct, și mai rapidă decât Heron când nu vrei să calculezi cele trei laturi.

Pe ce subiecte BAC apar problemele de geometrie analitică?

La M1 mate-info, Subiectul I conține de obicei una sau două probleme scurte de geometrie analitică — distanță între două puncte, ecuația unei drepte, mijlocul unui segment sau aria unui triunghi prin coordonate. Pe profilul șt-nat și tehnologic, geometria analitică e și mai prezentă, ocupând frecvent o problemă întreagă la Subiectul I sau II.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.