Exerciții rezolvate cu numere complexe — clasa a 10-a

$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

$(1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

$\dfrac{1 + i}{1 - i} \cdot \dfrac{1 + i}{1 + i} = \dfrac{(1 + i)^2}{1 - i^2} = \dfrac{2i}{2} = i$.

$|z| = \sqrt{1 + 3} = 2$. Argument: $\tg\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$, cu $z$ în cadranul al doilea, deci $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Astfel $z = 2\!\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

$(1 + i)^8 = \!\left[\sqrt{2}\right]^{8} \cdot \!\left(\cos 2\pi + i\sin 2\pi\right) = 16 \cdot (1 + 0) = 16$.

Prin Teorema Fundamentală a Algebrei (sau formula lui De Moivre), ecuația $z^n = 1$ are exact $n$ rădăcini complexe distincte, rădăcinile de ordin $n$ ale unității $\varepsilon_k = e^{2\pi i k/n}$, $k = 0, \ldots, n-1$.

$|z - 1| = |z - (-1)|$ descrie mulțimea punctelor echidistante față de $1$ și $-1$. Aceasta este mediatoarea segmentului dintre ele, adică axa imaginară $\operatorname{Re}(z) = 0$.

$z^2 = -4 \Rightarrow z^2 + 4 = 0 \Rightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0$. Soluții: $z = 2i$ sau $z = -2i$.

Polinomul $z^n - 1$ are coeficientul lui $z^{n-1}$ egal cu zero, deci prin relațiile lui Viète suma rădăcinilor este $0$. Echivalent, suma geometrică $\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi i k / n} = \dfrac{1 - 1}{1 - e^{2\pi i / n}} = 0$ (pentru $n \ge 2$).

Ecuația $z^5=32$ se scrie $z^5-32=0$, un polinom de gradul $5$ cu coeficientul lui $z^4$ egal cu $0$. Prin relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este $-\dfrac{0}{1}=0$. Verificare prin forma trigonometrică (Moivre): modulul fiecărei rădăcini este $\sqrt[5]{32}=2$, iar argumentele sunt $\dfrac{2k\pi}{5}$, pentru $k=0,1,2,3,4$, deci $z_k=2\left(\cos\dfrac{2k\pi}{5}+i\sin\dfrac{2k\pi}{5}\right)$. Notând $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}$, suma este $2\left(1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4\right)$, o progresie geometrică de rație $\omega\neq1$ cu $5$ termeni; cum $\omega$ este rădăcină de ordinul $5$ a unității, numărătorul $\omega^{5}-1$ se anulează, deci paranteza este $0$. $$z_1+z_2+z_3+z_4+z_5=0$$

Numărul $\varepsilon$ este o rădăcină primitivă de ordin $5$ a unității, deci puterile $\varepsilon^0=1,\varepsilon^1,\varepsilon^2,\varepsilon^3,\varepsilon^4$ parcurg exact cele $5$ rădăcini distincte ale ecuației $z^5=1$. Suma tuturor rădăcinilor polinomului $z^5-1=0$ este, prin relațiile lui Viète, egală cu opusul coeficientului lui $z^4$ (care este $0$, întrucât $z^5-1$ nu conține termen în $z^4$): $$1+\varepsilon+\varepsilon^2+\varepsilon^3+\varepsilon^4 = 0.$$ (Echivalent: este suma unei progresii geometrice cu rația $\varepsilon\neq1$: $\dfrac{\varepsilon^5-1}{\varepsilon-1}=\dfrac{1-1}{\varepsilon-1}=0$.) Verificare numerică: pentru $\varepsilon=\cos72^\circ+i\sin72^\circ$, suma celor $5$ termeni calculată numeric este $\approx0+0i$ (eroare de rotunjire de ordinul $10^{-15}$). ✓

Scriem $-64 = 64(\cos\pi + i\sin\pi)$. Cele 6 rădăcini sunt: $$z_k = 2\!\left(\cos\frac{(2k+1)\pi}{6} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{6}\right), \quad k = 0, 1, \ldots, 5.$$ Calculând pentru fiecare $k$: $$k=0:\; \frac{\pi}{6} \Rightarrow z_0 = \sqrt{3}+i, \quad k=1:\; \frac{\pi}{2} \Rightarrow z_1 = 2i,$$ $$k=2:\; \frac{5\pi}{6} \Rightarrow z_2 = -\sqrt{3}+i, \quad k=3:\; \frac{7\pi}{6} \Rightarrow z_3 = -\sqrt{3}-i,$$ $$k=4:\; \frac{3\pi}{2} \Rightarrow z_4 = -2i, \quad k=5:\; \frac{11\pi}{6} \Rightarrow z_5 = \sqrt{3}-i.$$ Rădăcinile cu parte reală strict pozitivă sunt $z_0 = \sqrt{3}+i$ și $z_5 = \sqrt{3}-i$. Produsul lor: $$z_0 \cdot z_5 = (\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i) = 3 - i^2 = 3 + 1 = 4.$$