Exerciții rezolvate cu permutări, aranjamente și combinări — clasa a 10-a

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

$4! = 24$.

$A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.

$C_{5}^{3} = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$.

$\dfrac{n(n-1)}{2} = 15 \Rightarrow n^2 - n - 30 = 0 \Rightarrow n \in \{6, -5\}$. Singura valoare admisibilă este $n = 6$.

$5 \cdot 4 = 20$, ceea ce este $A_5^2$.

Prin Pascal: $C_{7}^{3} + C_{7}^{4} = C_{8}^{4} = \dfrac{8!}{4!\,4!} = 70$.

$\dfrac{n(n-1)}{2} = 45 \Rightarrow n(n-1) = 90 \Rightarrow n = 10$.

Tratăm cele $3$ fete ca un singur bloc (deoarece trebuie să stea alăturate). Rămân de așezat în rând $4$ băieți $+\ 1$ bloc $= 5$ „unități", ceea ce se poate face în $5!$ moduri. În interiorul blocului, cele $3$ fete pot fi ordonate în $3!$ moduri. Numărul total de așezări: $$5!\cdot 3! = 120\cdot 6 = 720.$$ Verificare: fără restricție, toate cele $7$ persoane s-ar așeza în $7!=5040$ moduri; cu restricția „fetele alăturate", numărul scade la $720$, deoarece $720=5!\cdot3!$ numără doar așezările în care cele $3$ fete apar consecutiv (ca bloc), o submulțime strictă a celor $5040$ de așezări posibile. ✓

Pasul de recunoaștere: o mulțime de patru cifre distincte determină unic numărul cu cifrele în ordine crescătoare (există o singură ordonare crescătoare). Deci nu numărăm aranjamente, ci submulțimi. Cifra $0$ nu poate apărea: fiind cea mai mică, ar trebui să stea pe prima poziție, ceea ce nu e permis. Așadar cifrele se aleg din $\{1,2,\dots,9\}$: $$\mathrm{C}_9^4=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{24}=126.$$ (Verificat prin enumerarea completă a celor $126$ de submulțimi de câte $4$ elemente ale $\{1,\dots,9\}$.) ✓

Bilele fiind identice, o distribuție este determinată de tripletul $(a,b,c)$ cu $a+b+c=10$ și $a,b,c\ge 1$. Metoda separatoarelor: așezăm cele $10$ bile în rând; între ele apar $9$ spații. Alegând $2$ spații distincte pentru două separatoare, obținem exact trei grupe nevide: $$\mathrm{C}_9^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36.$$ (Verificat prin enumerarea completă a tripletelor: exact $36$.) Observație: dacă cutiile ar putea rămâne goale, răspunsul ar fi $\mathrm{C}_{10+2}^{2}=\mathrm{C}_{12}^2=66$. ✓

Folosim simetria $\binom{9}{k+1} = \binom{9}{9-(k+1)} = \binom{9}{8-k}$, deci suma devine: $$S = \sum_{k=0}^{8} \binom{9}{k}\binom{9}{8-k}$$ Aceasta este exact convoluția Vandermonde generală $\sum_{k=0}^{p}\binom{m}{k}\binom{n}{p-k} = \binom{m+n}{p}$, aplicată cu $m=n=9$ și $p=8$: $$S = \binom{9+9}{8} = \binom{18}{8}$$ Calculăm: $$\binom{18}{8} = 43758$$ Verificare (identitate combinatorică): $\binom{18}{8}$ numără submulțimile de $8$ elemente dintr-o mulțime de $18$ elemente, împărțită în două grupe de câte $9$; alegând $k$ elemente din prima grupă și $8-k$ din a doua, pentru $k=0,\dots,8$, se obține exact $\sum_{k=0}^{8}\binom{9}{k}\binom{9}{8-k} = \sum_{k=0}^{8}\binom{9}{k}\binom{9}{k+1}$, confirmând $S=43758$. (Nu se confundă cu $\binom{18}{9}=48620$, valoarea convoluției nedecalate \sum\binom{9}{k}^2.) ✓