PBMatePrincipalăArticoleAutentificare
PBMate logo
PBMate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Combinări, permutări, aranjamente — formule complete

Combinatorica numără în câte feluri poți alege sau aranja obiecte dintr-o mulțime. Cele trei structuri de bază sunt permutările Pn=n!P_n = n! (toate ordonările unei mulțimi), aranjamentele Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} (ordonări de kk obiecte din nn) și combinările Cnk=n!k!(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} (submulțimi de kk obiecte, ordinea nu contează). Mai jos găsești formulele complete, proprietățile combinărilor și aplicațiile la probabilitatea elementară.

Descarcă tabelul

Tabel combinări, permutări, aranjamente (PDF)

Permutări — toate ordonările unei mulțimi

O permutare a unei mulțimi cu nn elemente este o aranjare ordonată a tuturor celor nn elemente. Numărul lor este factorialul n!n!.
  • Numărul de permutăricondiție: n∈Nn \in \mathbb{N}, n≥1n \geq 1
    Pn=n!P_n = n!
  • Definiția factorialuluicondiție: convenție: 0!=10! = 1
    n!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅nn! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n
  • Recurența factorialului
    n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n - 1)!
  • Valori uzuale
    1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720, 7!=50401! = 1,\ 2! = 2,\ 3! = 6,\ 4! = 24,\ 5! = 120,\ 6! = 720,\ 7! = 5040

Aranjamente — selecții ordonate

Un aranjament de nn luate câte kk este o selecție ordonată de kk elemente dintr-o mulțime de nn. Ordinea contează — abcabc și bcabca sunt aranjamente diferite.
  • Numărul de aranjamentecondiție: 0≤k≤n0 \leq k \leq n
    Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}
  • Formă dezvoltatăcondiție: produs cu exact kk factori
    Ank=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅⋯⋅(n−k+1)A_n^k = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)
  • Aranjamente totalecondiție: când iei toate elementele
    Ann=n!=PnA_n^n = n! = P_n
  • Legătura cu combinărilecondiție: fiecare combinare se poate ordona în k!k! feluri
    Ank=Cnk⋅k!A_n^k = C_n^k \cdot k!

Combinări — selecții fără ordine

O combinare de nn luate câte kk este o submulțime cu kk elemente dintr-o mulțime cu nn elemente. Ordinea nu contează — {a,b,c}\{a, b, c\} și {c,b,a}\{c, b, a\} sunt aceeași combinare.
  • Numărul de combinăricondiție: 0≤k≤n0 \leq k \leq n
    Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
  • Simetriacondiție: C107=C103=120C_{10}^7 = C_{10}^3 = 120
    Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}
  • Formula lui Pascalcondiție: regula triunghiului lui Pascal
    Cnk+Cnk+1=Cn+1k+1C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}
  • Suma combinărilorcondiție: numărul tuturor submulțimilor unei mulțimi cu nn elemente
    Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2nC_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n
  • Combinări extreme
    Cn0=Cnn=1,Cn1=Cnn−1=nC_n^0 = C_n^n = 1,\quad C_n^1 = C_n^{n-1} = n

Probabilitate elementară

Schema lui Laplace: când toate cazurile sunt egal posibile, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre cazurile favorabile și cazurile posibile. Aproape toate problemele de BAC cu probabilitate folosesc combinări pentru ambii termeni ai fracției.
  • Formula lui Laplacecondiție: toate cazurile egal posibile
    P(A)=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibileP(A) = \frac{\text{nr.\ cazuri favorabile}}{\text{nr.\ cazuri posibile}}
  • Marginile probabilitățiicondiție: P(∅)=0P(\emptyset) = 0, P(Ω)=1P(\Omega) = 1
    0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1
  • Evenimentul contrar
    P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A)
  • Probabilitatea reuniunii
    P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • Evenimente independentecondiție: dacă AA și BB sunt independente
    P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
Calibrat pe BAC oficial

Unde apar aceste formule pe baremele oficiale

Pe BAC matematică mate-info, problemele de combinatorică apar la Subiectul I problema 4 sau ca parte a unei probleme de probabilitate la Subiectul II — aproximativ 30–40% din variantele Vară au o cerință explicită. Cele trei formule de bază ($P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$) plus schema lui Laplace rezolvă majoritatea problemelor.

Întrebări frecvente despre combinări, permutări, aranjamente

Care este diferența între permutări, aranjamente și combinări?

Permutarea ordonează toate elementele unei mulțimi (P_n = n!). Aranjamentul alege ordonat k elemente din n (A_n^k = n!/(n-k)!) — ordinea contează. Combinarea alege k elemente din n fără să țină cont de ordine (C_n^k = n!/(k!·(n-k)!)) — abc și cba sunt aceeași combinare. Regula de selecție: dacă ordinea contează, aranjamente; dacă nu, combinări.

De ce 0!=10! = 1?

Este o convenție care face ca formulele să funcționeze fără cazuri speciale. De exemplu, C_n^n = n!/(n!·0!) ar fi nedefinit cu 0! = 0 sau cu 0! neasignat; cu 0! = 1, obținem C_n^n = 1 (e o singură submulțime care conține toată mulțimea — chiar ea însăși). La fel, recurența n! = n·(n-1)! cu n = 1 forțează 1! = 1 · 0! = 1, deci 0! = 1.

Câte submulțimi are o mulțime cu nn elemente?

Exact 2^n. Fiecare element poate să fie în submulțime (1) sau să nu fie (0), deci 2 alegeri independente pentru fiecare din cele n elemente — 2^n combinații totale. Formula combinatorică echivalentă: C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = 2^n (suma submulțimilor cu 0, 1, 2, ..., n elemente).

Cum recunosc o problemă de combinări față de una de aranjamente?

Întreabă-te: dacă schimb ordinea celor k obiecte selectate, obțin o selecție diferită? Dacă da (de exemplu, „câte coduri de 3 cifre din 5 cifre date”), e aranjament. Dacă nu (de exemplu, „câte echipe de 3 jucători pot alege antrenorul din 10 jucători”), e combinare. Cuvinte-cheie pentru aranjamente: cod, parolă, podium, ordine. Pentru combinări: echipă, comisie, submulțime, grupă.

Cum aplic formula lui Laplace în probleme cu cărți sau bile?

Mai întâi alegi modelul: extragi cu sau fără înlocuire? Cu sau fără ordine? Apoi numeri cazurile posibile (de obicei o combinare sau aranjament din mulțimea totală) și cazurile favorabile (selecții care satisfac condiția). Împarți. De exemplu, „probabilitatea ca dintr-o urnă cu 5 bile albe și 3 negre să extragi 2 bile albe”: cazuri posibile = C_8^2 = 28; cazuri favorabile = C_5^2 = 10; probabilitate = 10/28 = 5/14.

Care e formula triunghiului lui Pascal?

Fiecare combinare se obține adunând cele două combinări de deasupra: C_n^k + C_n^(k+1) = C_(n+1)^(k+1). Triunghiul începe cu C_0^0 = 1 (vârful), apoi fiecare rând n conține combinările C_n^0, C_n^1, ..., C_n^n. Marginile sunt mereu 1 (C_n^0 = C_n^n = 1), iar interiorul se construiește prin Pascal.

Pe ce subiecte BAC apar combinatoricile?

Cerințele de combinatorică apar sporadic la M1, de obicei la Subiectul I problema 4 sau Subiectul II — o problemă scurtă cu C_n^k sau o probabilitate elementară. Pe ultimii cinci ani de mate-info Vară, aproximativ 30-40% din variante au o cerință explicită de combinatorică sau probabilitate. Cunoașterea formulelor de bază + schema lui Laplace acoperă majoritatea problemelor.

Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.