Exerciții rezolvate cu probabilități — clasa a 10-a

O monedă echilibrată are două rezultate egal probabile; probabilitatea de a obține cap este $\dfrac{1}{2}$.

Rezultatele pare: $\{2, 4, 6\}$, adică trei din șase. Probabilitate $= \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.

Perechile sunt $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — șase din $36$ de rezultate posibile. Probabilitate $= \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.

Există $90$ de numere de două cifre. Sumele de cifre divizibile cu $11$ în intervalul $[1, 18]$: doar $11$. Numerele cu suma cifrelor egală cu $11$: $29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92$ — opt numere. Probabilitate $= \dfrac{8}{90} = \dfrac{4}{45}$.

$P = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{56} = \dfrac{3}{28}$.

Rezultatele pare: $\{2, 4, 6\}$. Dintre acestea, $\{4, 6\}$ sunt $> 3$: probabilitate $\dfrac{2}{3}$.

$P = C_{4}^{2}\!\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \!\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \dfrac{1}{9} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{24}{81} = \dfrac{8}{27}$.

$P(A) = P(B) = \dfrac{1}{2}$, $P(R|A) = \dfrac{3}{4}$, $P(R|B) = \dfrac{1}{4}$. $P(A|R) = \dfrac{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{3/8}{4/8} = \dfrac{3}{4}$.

Numărul total de comitete posibile: $\displaystyle\binom{9}{3}=84$. Numărul de comitete fără nicio fată (toți $3$ membri băieți): $\displaystyle\binom{5}{3}=10$. $$P(\text{fără fete}) = \frac{10}{84}=\frac{5}{42}, \qquad P(\text{cel puțin o fată}) = 1-\frac{5}{42}=\frac{37}{42}.$$ Verificare: enumerare brute-force a tuturor celor $\binom{9}{3}=84$ comitete confirmă exact $74$ dintre ele cu cel puțin o fată, iar $\dfrac{74}{84}=\dfrac{37}{42}$. ✓

Argument de simetrie: la o masă rotundă, fixăm locul lui $A$ (fără a pierde din generalitate, pentru că doar așezarea relativă contează). Celelalte $9$ persoane, printre care $B$, ocupă la întâmplare celelalte $9$ locuri, fiecare aranjament la fel de probabil. Deci locul lui $B$ este uniform distribuit printre cele $9$ locuri rămase. Dintre acestea, exact $2$ locuri sunt vecine cu $A$ (unul la stânga, unul la dreapta). Deci $$P(A,B\text{ alăturați}) = \frac{2}{9}.$$ (Formula $\frac{1}{n-1}=\frac{1}{9}$ ar fi greșită — uită factorul $2$, pentru că $A$ are doi vecini, nu unul singur.) Verificare prin numărare directă: numărul de așezări circulare cu $A,B$ alăturați este $2\cdot 8!$ (blocul $AB$ sau $BA$, apoi $8!$ moduri de a plasa blocul și celelalte $8$ persoane în cerc), din totalul $9!$. Raportul este $\dfrac{2\cdot8!}{9!}=\dfrac{2}{9}$, confirmând rezultatul obținut prin simetrie. ✓

Notăm $P(\text{bolnav})=0{,}01$, $P(\text{sănătos})=0{,}99$. $$P(\text{pozitiv}) = P(\text{poz}\mid\text{bolnav})P(\text{bolnav}) + P(\text{poz}\mid\text{sănătos})P(\text{sănătos}) = 0{,}95\cdot0{,}01 + 0{,}10\cdot0{,}99 = 0{,}0095+0{,}099=0{,}1085.$$ $$P(\text{bolnav}\mid\text{pozitiv}) = \frac{0{,}0095}{0{,}1085} = \frac{19}{217}\approx 8{,}76\%.$$ Rezultat contraintuitiv: deși testul pare foarte precis ($95\%$ sensibilitate, $90\%$ specificitate), o persoană testată pozitiv are totuși șanse mici (sub $9\%$) de a fi efectiv bolnavă — pentru că boala este rară, iar cele $10\%$ „fals pozitive" din marea masă de persoane sănătoase depășesc numeric adevăratele cazuri pozitive. Verificare (fracții exacte): $P(\text{bolnav})=\frac{1}{100}$, $P(\text{poz}\mid\text{bolnav})=\frac{19}{20}$, $P(\text{poz}\mid\text{sănătos})=\frac{1}{10}$; $P(\text{pozitiv})=\frac{1}{100}\cdot\frac{19}{20}+\frac{99}{100}\cdot\frac{1}{10}=\frac{19}{2000}+\frac{198}{2000}=\frac{217}{2000}$, deci $P(\text{bolnav}\mid\text{pozitiv})=\frac{19/2000}{217/2000}=\frac{19}{217}$. ✓

Fiecare copil are $14$ combinații (gen, zi) egal probabile ($2$ genuri $\times$ $7$ zile), deci familia are $14\times14=196$ combinații egal probabile în total. Numărăm evenimentul condiție („cel puțin un băiat-marți", notat BT): copilul $1$ e BT în $1\times14=14$ combinații (indiferent de copilul $2$); analog copilul $2$ e BT în $14$ combinații; ambii sunt BT simultan în $1\times1=1$ combinație. Prin includere-excludere: $$|\text{cel puțin un BT}| = 14+14-1=27.$$ Numărăm, printre acestea, cazurile cu ambii băieți: dacă ambii copii sunt băieți (indiferent de zi), avem $7\times7=49$ combinații; printre acestea, cele cu cel puțin un BT sunt (aceeași includere-excludere, restrânsă la „ambii băieți"): copilul $1$=BT: $1\times7=7$; copilul $2$=BT: $7\times1=7$; ambii BT: $1$; total $7+7-1=13$. Deci $$P(\text{ambii băieți}\mid\text{cel puțin un BT}) = \frac{13}{27}.$$ Acest rezultat este contraintuitiv: fără informația despre ziua nașterii, probabilitatea „clasică" ar fi $\frac13$ (din cele $3$ cazuri egal probabile BB, BF, FB rămase după eliminarea FF); specificarea zilei „marți" o modifică surprinzător la $\frac{13}{27}\approx0{,}481$, mult mai aproape de $\frac12$. Verificare: enumerare brute-force a tuturor celor $196$ de combinații (gen, zi) $\times$ (gen, zi) confirmă exact $27$ cazuri cu cel puțin un BT, dintre care exact $13$ au ambii copii băieți, deci $\frac{13}{27}$. ✓