pbmatepbmateArticoleAutentificare
pbmate logo
pbmate

Matematică pentru elevii care vor mai mult de 9

Conectează-te

Trei probleme noi în fiecare dimineață. Calibrate la nivelul tău, nu la al manualului.

Algebră · BAC M1

Probabilități — formule de bază, condiționată și evenimente

Probabilitatea clasică este P(A) = (cazuri favorabile) / (cazuri posibile), cu valori în [0, 1]. Pentru reuniune: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B); complementara: P(Ā) = 1 − P(A). Probabilitatea condiționată P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Două evenimente sunt independente dacă P(A∩B) = P(A)·P(B).

Descarcă tabelul

Tabel probabilități (PDF)

Probabilitatea clasică

Când toate rezultatele unui experiment sunt echiprobabile, probabilitatea unui eveniment AA se calculează numărând cazurile favorabile și împărțindu-le la totalul cazurilor posibile. Rezultatul este întotdeauna un număr între 0 și 1.
  • Definiția probabilității clasicecondiție: toate rezultatele echiprobabile
    P(A)=numa˘rul cazurilor favorabile lui Anuma˘rul total al cazurilor posibileP(A) = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile lui } A}{\text{numărul total al cazurilor posibile}}
  • Limitele probabilității
    0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1
  • Evenimentul imposibil
    P(∅)=0P(\varnothing) = 0
  • Evenimentul sigur
    P(Ω)=1P(\Omega) = 1

Reuniune și complementară

Formula reuniunii ține cont că evenimentele AA și BB pot să se suprapună — dacă nu adunăm P(A∩B)P(A\cap B) o dată în plus, îl numărăm de două ori. Când AA și BB sunt incompatibile (nu pot apărea simultan), P(A∩B)=0P(A\cap B)=0 și formula se simplifică.
  • Probabilitatea reuniunii (cazul general)
    P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
  • Evenimente incompatibile (A∩B=∅A \cap B = \varnothing)condiție: P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0
    P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B)
  • Probabilitatea complementareicondiție: Aˉ\bar{A} = evenimentul contrar lui AA
    P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A)

Probabilitate condiționată

Probabilitatea condiționată P(A∣B)P(A\mid B) răspunde la întrebarea: dacă știm că BB s-a produs, cât de probabil este că s-a produs și AA? De aici rezultă formula înmulțirii: P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B).
  • Probabilitatea condiționată a lui AA față de BBcondiție: P(B)>0P(B) > 0
    P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}
  • Formula înmulțirii (formă echivalentă)
    P(A∩B)=P(A∣B)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente când producerea unuia nu influențează probabilitatea celuilalt. Criteriul de verificare: dacă P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B), evenimentele sunt independente — altfel sunt dependente.
  • Criteriul de independențăcondiție: AA și BB sunt independente dacă și numai dacă această egalitate are loc
    P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
  • Echivalența cu probabilitatea condiționatăcondiție: P(B)>0P(B) > 0
    A⊥B  ⇔  P(A∣B)=P(A)A \perp B \;\Leftrightarrow\; P(A \mid B) = P(A)
Probleme rezolvate

Unde apar probabilități în probleme rezolvate

Probabilitățile apar constant la Subiectul I al BAC M1, de obicei ca una dintre primele trei probleme. Cerința tipică este calculul probabilității clasice pe mulțimi de numere naturale cu anumite proprietăți (cifrele, divizibilitatea, paritatea), cu formule de numărare simple. Ocazional apar și reuniuni sau complementare.

Pe baremele oficiale

În arhiva problemelor zilnice

Întrebări frecvente despre probabilități

Cum calculez o probabilitate clasică?

Numeri toate rezultatele posibile ale experimentului (cazurile posibile) și câte dintre ele satisfac condiția dorită (cazurile favorabile). Probabilitatea este raportul celor două numere. De exemplu, dacă arunci un zar echilibrat și vrei să obții un număr par, ai 3 cazuri favorabile (2, 4, 6) din 6 posibile, deci P = 3/6 = 1/2. Condiția esențială: toate rezultatele trebuie să fie la fel de probabile.

Ce înseamnă probabilitate condiționată?

Probabilitatea condiționată P(A|B) este probabilitatea ca evenimentul A să se producă, știind că evenimentul B a avut deja loc. Se calculează cu formula P(A|B) = P(A∩B) / P(B), unde P(B) > 0. Concret, restrângem spațiul probabilistic la cazurile compatibile cu B și recalculăm. De exemplu, dacă știm că un elev a luat notă mare, probabilitatea că a studiat serios este diferită față de probabilitatea inițială fără această informație.

Când sunt două evenimente independente?

Două evenimente A și B sunt independente dacă producerea unuia nu modifică probabilitatea celuilalt, adică P(A∩B) = P(A)·P(B). Echivalent, P(A|B) = P(A) și P(B|A) = P(B). Un exemplu clasic: aruncarea succesivă a două monede — rezultatul primei aruncări nu influențează rezultatul celei de-a doua. Atenție: evenimentele incompatibile (P(A∩B) = 0) nu sunt independente (dacă A s-a produs, B sigur nu s-a produs).

Cum calculez probabilitatea reuniunii a două evenimente?

Folosești formula P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Scazi intersecția pentru că, dacă A și B se pot produce simultan, cazurile din intersecție au fost numărate de două ori. Dacă evenimentele sunt incompatibile (A∩B = ∅), atunci P(A∩B) = 0 și formula devine P(A∪B) = P(A) + P(B). La BAC, primul pas este să verifici dacă evenimentele sunt incompatibile sau nu.

Ghidul complet de pregătire BAC Matematică M1Capitole, structura subiectului, barem și variante oficiale.Vezi toate formulele de BAC matematicăAlgebră, analiză și geometrie — tot pe o singură pagină.