Exerciții rezolvate cu puteri, radicali, logaritmi — clasa a 10-a

$\sqrt[3]{8} = 2$, deci $8^{2/3} = 2^2 = 4$.

$\sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$.

$\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

$27 = 3^3$, deci $3^{x+1} = 3^3 \Rightarrow x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$.

$\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3} = \log_2\!\left(6 \cdot \dfrac{8}{3}\right) = \log_2 16 = 4$.

$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$.

$2x^2 + x + 1 = 2(x^2 - x + 2) \Rightarrow 2x^2 + x + 1 = 2x^2 - 2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$. Verificarea domeniului: pentru $x = 1$, $2x^2 + x + 1 = 4 > 0$ și $x^2 - x + 2 = 2 > 0$, deci ambii logaritmi sunt definiți. Mulțimea soluțiilor este $\{1\}$.

$4^x = 2^{2x} = (2^x)^2 = 5^2 = 25$.

$\sqrt{3}=3^{1/2}=3^{3/6}=\sqrt[6]{3^3}=\sqrt[6]{27}$ și $\sqrt[3]{5}=5^{1/3}=5^{2/6}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}$. Funcția $x\mapsto\sqrt[6]{x}$ este strict crescătoare pe $[0,\infty)$, iar $27>25$, deci $\sqrt[6]{27}>\sqrt[6]{25}$. $$\sqrt{3}>\sqrt[3]{5}.$$

Notăm $t=\sqrt[3]{x}$, definit pentru orice $x\in\mathbb{R}$. Inecuația $x^{2/3}\le 9$ devine $t^2\le 9$, echivalentă cu $-3\le t\le 3$. Revenind la $x$: $-3\le \sqrt[3]{x}\le 3 \Leftrightarrow (-3)^3\le x\le 3^3 \Leftrightarrow -27\le x\le 27$. Verificare: $(-27)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{-27}\right)^2=(-3)^2=9$ ✓; $27^{2/3}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$ ✓, ambele capete satisfac egalitatea. $$x\in[-27,27].$$

Domeniul: $x\ge 1$. Fie $u=\sqrt{x-1}\ge 0$, deci $x=u^2+1$. Pasul de recunoaștere — ambele expresii sunt pătrate perfecte: $$x+3-4\sqrt{x-1}=u^2+4-4u=(u-2)^2,$$ $$x+8-6\sqrt{x-1}=u^2+9-6u=(u-3)^2.$$ Cum $\sqrt{A^2}=|A|$, ecuația devine $$|u-2|+|u-3|=1.$$ Aceasta este suma distanțelor de la $u$ la $2$ și la $3$: egală cu $1$ exact pentru $u\in[2,3]$ (în afara acestui interval e strict mai mare). Deci $$2\le\sqrt{x-1}\le 3\iff 4\le x-1\le 9\iff 5\le x\le 10.$$ Numerele naturale din $[5,10]$ sunt $5,6,7,8,9,10$ — adică $6$ valori. Verificare pentru $x=7$ ($u=\sqrt6\approx 2{,}449$): $|2{,}449-2|+|2{,}449-3|=0{,}449+0{,}551=1$ ✓. Observație: mulțimea soluțiilor reale este intervalul $[5,10]$, nu un set de puncte izolate. ✓

Scriem fiecare factor prin schimbare de bază: $$\log_2 3\cdot\log_3 4\cdots\log_{63}64 = \frac{\ln3}{\ln2}\cdot\frac{\ln4}{\ln3}\cdot\frac{\ln5}{\ln4}\cdots\frac{\ln64}{\ln63}.$$ Toți termenii intermediari se simplifică succesiv (telescopare) — $\ln 3$ apare la numărător în primul factor și la numitor în al doilea, $\ln4$ apare la numărător în al doilea și numitor în al treilea, etc. Rămâne doar primul numitor și ultimul numărător: $$\frac{\ln64}{\ln2} = \log_2 64 = 6 \quad(\text{deoarece } 2^6=64).$$ Deși produsul are $62$ de factori, valoarea lui colapsează la întregul $6$ — numărul de termeni ($62$) nu are nicio legătură directă cu rezultatul. Verificare: calcul simbolic al întregului produs (toate cele $62$ de fracții) confirmă exact valoarea $6$. ✓