Exerciții rezolvate cu aplicații ale derivatelor — clasa a 11-a

$f'(x) = 2x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > -1$. Deci $f$ este crescătoare pe $(-1, +\infty)$.

$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Deoarece $f''(x) = 2 > 0$, acesta este un minim.

$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$. La $t = 2$: $v = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s (particula se mișcă înapoi).

$a(t) = x''(t) = 6t - 12$. La $t = 1$: $a = -6$ m/s².

$f''(x) = 6x$. $f'' < 0 \Leftrightarrow x < 0$. Deci $f$ este concavă pe $(-\infty, 0)$.

$f'(x) = 3x^2 - 3$, $f''(x) = 6x$. $f''$ își schimbă semnul în $x = 0$, deci inflexiunea este în $x = 0$.

$f'(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2$. Deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 2)$. (Crescătoare pe $(-\infty, 0)$ și $(2, +\infty)$.)

$A(x) = 10x - x^2$. $A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$. Dreptunghiul cu arie maximă este pătratul $5 \times 5$, cu aria $25$.

Derivăm de două ori: $$f'(x) = 4x^3-12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2-24x = 12x(x-2).$$ Rădăcinile lui $f''$ sunt $x=0$ și $x=2$. Verificăm că $f''$ schimbă semn în ambele (produs de doi factori liniari distincți), deci ambele sunt puncte de inflexiune. Suma absciselor: $$0 + 2 = 2.$$ Verificare: $f''(-1)=36>0$, $f''(1)=-12<0$, $f''(3)=36>0$ — semnul alternează de două ori, confirmând cele două inflexiuni. ✓

$f'(x) = 3x^2 - 3a$, deci $f'(2) = 12 - 3a = 0 \Rightarrow a = 4$. Verificare: $f''(x) = 6x$, deci $f''(2) = 12 > 0$, confirmand minimul local.

Derivăm: $$f_m'(x) = 4x^3-4mx = 4x(x^2-m).$$ Rădăcina $x=0$ există întotdeauna. Ecuația $x^2=m$ mai are soluții reale (și anume $x=\pm\sqrt{m}$, distincte de $0$) **doar dacă $m>0$**. - Dacă $m>0$: trei puncte critice distincte, $\{-\sqrt m, 0, \sqrt m\}$. - Dacă $m\le 0$: un singur punct critic, $x=0$ (pentru $m=0$, $f_0'(x)=4x^3$ are doar rădăcina $x=0$, cu multiplicitate, dar tot un singur punct pe axă; pentru $m<0$, $x^2=m$ nu are soluții reale). Deci exact trei puncte critice au loc pentru $m\in\{1,2,3\}$ din mulțimea dată — trei valori întregi. Verificare: pentru $m=1$, $f_1'(x)=4x(x-1)(x+1)$, rădăcini $-1,0,1$ (trei); pentru $m=0$, $f_0'(x)=4x^3$, o singură rădăcină $x=0$; pentru $m=-1$, $x^2=-1$ nu are soluție reală. ✓

Cum $f(x)=x^4$ e convexă, inegalitatea lui Jensen dă: $$\frac{f(a)+f(b)+f(c)}{3}\ge f\left(\frac{a+b+c}{3}\right) = f(1) = 1 \implies a^4+b^4+c^4\ge3.$$ Egalitatea are loc la $a=b=c=1$ (verifică: $1+1+1=3$ ✓), deci valoarea minimă este $3$.